1、6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理课后篇巩固提升夯实基础1.四边形OABC中,CB=12OA,若OA=a,OC=b,则AB=()A.a-12bB.12a-bC.b+12aD.b-12a答案D解析由CB=OB-OC=12OA,可得OB=OC+12OA=b+12a,所以AB=OB-OA=b+12a-a=b-12a,故选D.2.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2,与向量b=e1+e2(R)共线,当且仅当的值为()A.0B.-1C.-2D.-12答案D解析因为向量a与b共线,所以b=ma,且向量a=2e1-e2,与向量b=e1+e2,即2e1-e2=m(e1+e2
2、),解得=-12,故选D.3.设D为ABC所在平面内一点,AD=-13AB+43AC,若BC=DC(R),则=()A.-3B.3C.-2D.2答案A解析若BC=DC(R),AC-AB=AC-AD,化为AD=1AB+-1AC,与AD=-13AB+43AC比较,可得:1=-13,-1=43,解得=-3.则=-3.故选A.4.对于向量a,b有下列表示:a=2e,b=-2e;a=e1-e2,b=-2e1+2e2;a=4e1-25e2,b=e1-110e2;a=e1+e2,b=2e1-2e2.其中,向量a,b一定共线的有()A.仅B.仅C.仅D.答案A解析对于,a=-b;对于,a=-12b;对于,a=4
3、b;对于,若a=b(0),则e1+e2=(2e1-2e2),即(1-2)e1+(1+2)e2=0,所以1-2=1+2=0,矛盾,故中a与b不共线.5.已知向量AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,则()A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线答案B解析BC+CD=2a+6b=2(a+3b)=2AB,即BD=2AB.A、B、D三点共线.故选B.6.如图,在ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P.若AP=ma+nb,则m+n=()A.12B.23C.67D.1答案C解析由题意可得AP=2QP,Q
4、B=2QR,AB=a=AQ+QB=12AP+2QR,AC=AP+PC=AP+RP=AP+QP-QR=AP+12AP-QR=32AP-QR=b,由解方程求得AP=27a+47b.再由AP=ma+nb可得m=27,n=47,m+n=67.7.如图,在ABC中,AD=13DC,P是线段BD上一点,若AP=mAB+16AC,则实数m的值为.答案13解析设BP=BD,AD=13DCAD=14AC,AP=AB+BP=AB+BD=AB+(BA+AD)=(1-)AB+14AC,已知AP=mAB+16AC,所以有1-=m,14=16=23,m=13.8.如图,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23
5、AD,AB=a,AC=b.(1)用a,b分别表示向量AE,BF;(2)求证:B,E,F三点共线.解(1)AD=12(AB+AC)=12(a+b),AE=23AD=13(a+b),AF=12AC=12b,BF=AF-AB=-a+12b.(2)证明:由(1)知BF=-a+12b,BE=-23a+13b=23-a+12b,BE=23BF.BE与BF共线.又BE,BF有公共点B,所以B,E,F三点共线.9.已知OAB中,点D在线段OB上,且OD=2DB,延长BA到C,使BA=AC.设OA=a,OB=b.(1)用a,b表示向量OC,DC;(2)若向量OC与OA+kDC共线,求k的值.解(1)A为BC的中
6、点,OA=12(OB+OC),可得OC=2OA-OB=2a-b,而DC=OC-OD=OC-23OB=2a-53b.(2)由(1)得OA+kDC=(2k+1)a-53kb,OC与OA+kDC共线,设OC=(OA+kDC),即2a-b=(2k+1)a+-53kb,根据平面向量基本定理,得2=(2k+1),-1=-53k,解之得,k=34.能力提升1.已知a,b为非零不共线向量,向量8a-kb与-ka+b共线,则k=()A.22B.-22C.22D.8答案C解析向量8a-kb与-ka+b共线,存在实数,使得8a-kb=(-ka+b),即8a-kb=-ka+b.又a,b为非零不共线向量,8=-k,-k
7、=,解得:k=22,故选C.2.已知正六边形ABCDEF中,G是AF的中点,则CG=()A.58CE+34DAB.23CE+56DAC.34CE+58DAD.56CE+23DA答案C解析作出图形如下图所示,设直线AD,CF相交于点O,则点O为这两条线段的中点,由图形可知,CB=OA=OF+FA=-AB-AF,所以,CG=CB+BA+AG=-AB-AF-AB+12AF=-2AB-12AF,DA=2CB=-2AB-2AF,CE=CD+DE=AF-AB,联立,得DA=-2AB-2AF,CE=-AB+AF,解得AB=-12CE-14DA,AF=12CE-14DA,代入,得CG=-2AB-12AF=-2
8、-12CE-14DA-1212CE-14DA=34CE+58DA,故选C.3.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若AB=a,AD=b,E为BF的中点,则AE=()A.45a+25bB.25a+45bC.43a+23bD.23a+43b答案A解析设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在RtABE中,可得AB=5m.过点E作EHAB
9、于点H,则EH=2m25m=255m,EHAD,AH=(2m)2-255m2=455m.所以AH=45AB,HE=25AD.所以AE=AH+HE=45AB+25AD=45a+25b.故选A.4.如图,在ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点.若AM=xAB,AN=yAC,试问:1x+1y是否为定值?解设AB=a,AC=b,则AM=xa,AN=yb,AG=12AD=14(AB+AC)=14(a+b).所以MG=AG-AM=14(a+b)-xa=14-xa+14b,MN=AN-AM=yb-xa=-xa+yb.因为MG与MN共线,且a,b不共线,所以有14-xy=14(-x),即14x+14y=xy,得1x+1y=4,所以1x+1y为定值.
