1、第4章三角函数与三角恒等变换学案16任意角、弧度及任意角的三角函数导学目标： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义自主梳理1任意角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形旋转开始时的射线OA叫做角的_，射线的端点O叫做角的_，旋转终止位置的射线OB叫做角的_，按_时针方向旋转所形成的角叫做正角，按_时针方向旋转所形成的角叫做负角若一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个_角(1)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是_角
2、(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)终边在x轴上的角表示为_；终边在y轴上的角表示为_；终边落在坐标轴上的角可表示为_(3)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合_或_，前者用角度制表示，后者用弧度制表示(4)弧度制把长度等于_长的弧所对的_叫1弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做_，它的单位符号是_，读作_，通常略去不写(5)度与弧度的换算关系360_ rad；180_ rad；1_ rad；1 rad_57.30.(6)弧长公式与扇形面积公式l_，即弧长等于_S扇_.2三角函数的定义设是一个任意角，它的终边上任意一点P的坐标为(x，y)，|OP|r，我们规定
3、：比值叫做的正弦，记作sin ，即sin ；比值叫做的余弦，记作cos ，即cos ；比值_(x0)叫做的正切，记作tan ，即tan .(1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)三角函数线下图中有向线段MP，OM，AT分别表示_，_和_自我检测1“”是“cos 2”的_条件2与2010终边相同的最小正角为_，最大负角为_3(2010山东青岛高三教学质量检测)已知sin 0，则角是第_象限角4若n360，m360(m，nZ)，则，终边关于直线_对称5已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为_探究点一角的概念例1(1)如果角
4、是第三象限角，那么，角的终边落在第几象限；(2)写出终边落在直线yx上的角的集合；(3)若168k360 (kZ)，求在0，360)内终边与角的终边相同的角变式迁移1若是第二象限的角，试分别确定2，的终边所在位置探究点二弧长与扇形面积例2已知一个扇形的圆心角是，00)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式迁移2(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？探究点三三角函数的定义例3已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值变式迁移3已知角的终边经过点P(4a,3
5、a) (a0)，求sin ，cos ，tan 的值1角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯，象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础2三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达Q，则Q的坐标为_2(2011汕头模拟)若角和角的终边关于x轴对称，则角可以用表示为_3已知点P落在角的终边上，且0,2)，则的值为_4已知为第三象限的角，则在
6、第_象限5(2011南京模拟)已知点P(sin cos ，tan )在第一象限，且0,2，则的取值范围是_6若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于_7(2011淮安模拟)已知角的终边落在直线y3x上，则_.8阅读下列命题：若点P(a,2a) (a0)为角终边上一点，则sin ；同时满足sin ，cos 的角有且只有一个；设tan 且0 (为象限角)，则在第一象限其中正确命题为_(将正确命题的序号填在横线上)二、解答题(共42分)9(14分)已知扇形OAB的圆心角为120，半径长为6，(1)求的弧长；(2)求弓形OAB的面积10(14分)在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的
7、范围，并由此写出角的集合：(1)sin ；(2)cos .11(14分)已知角终边经过点P(x，) (x0)，且cos x.求sin 的值答案 自主梳理1始边顶点终边逆顺零(1)第几象限(2)|k，kZ(3)|k360，kZ|2k，kZ(4)半径圆心角弧度制rad弧度(5)2(6)|r弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积lr|r22.(2)的正弦线的余弦线的正切线自我检测1充分而不必要2.2101503.三4.x轴5.课堂活动区例1解题导引(1)一般地，角与终边关于x轴对称；角与终边关于y轴对称；角与终边关于原点对称(2)利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判断一个角所在的象限时，只需把
8、这个角写成0,2)范围内的一角与2的整数倍，然后判断角的象限(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k赋值来求得所需角解(1)2k2k (kZ)，2k2k(kZ)，即2k2k (kZ)角终边在第二象限又由各边都加上，得2k22k (kZ)是第四象限角同理可知，是第一象限角(2)在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为.(3)168k360 (kZ)，56k120 (kZ)056k120360，k0,1,2时，0，360)故在0，360)内终边与角的终边相同的角是56，176，296.变式迁移1解
9、是第二象限的角，k36090k360180 (kZ)(1)2k36018022k360360 (kZ)，2的终边在第三或第四象限，或角的终边在y轴的非正半轴上(2)k18045k18090 (kZ)，当k2n (nZ)时，n36045n36090；当k2n1 (nZ)时，n3602252，舍去，.(2)扇形的周长为40，即R2R40，SlRR2R2R2100.当且仅当R2R，即R10，2时扇形面积取得最大值，最大值为100.例3解题导引某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定了但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组，要分别求解解
10、角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t) (t0)，则x4t，y3t，r5|t|，当t0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t0时，sin ，cos ，tan ；t0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，tan .若a0，cos 0，P在第四象限，.4二或四解析是第三象限角，180k360270k360(kZ)90k180135k180(kZ)当k2m (mZ)时可得90m360135m360，故的终边在第二象限当k2m1 (mZ)时可得270m360315m360，故的终边在第四象限综上，可知是第二或第四象限的角5.解析由已知得2k2k或2k2k，kZ
11、.02，当k0时，或.6.解析设圆的半径为r，rsin 1.r.弧长lr.72或2解析角终边落在直线y3x上，为第二或第四象限角当为第二象限时，2.若为第四象限时，2.8解析中，当在第三象限时，sin ，故错中，同时满足sin ，cos 的角为2k (kZ)，不只有一个，故错正确可能在第一象限或第四象限，故错综上选.9解(1)120，r6，的弧长为lr64.(4分)(2)S扇形OABlr4612，(8分)SABOr2sin 629，(12分)S弓形OABS扇形OABSABO129.(14分)10解(1)作直线y交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的集合为.(7分)(2)作直线x交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围故满足条件的角的集合为.(14分)11解P(x，) (x0)，点P到原点的距离r.(2分)又cos x，cos x.x0，x，r2.(6分)当x时，P点坐标为(，)，由三角函数的定义，有sin ，sin ；(10分)当x时，同样可求得sin .(14分)