1、第18课时函数模型及其应用(1) 教学过程一、 问题情境函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,是研究变量之间依赖关系的有效工具,利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题.某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地10000m2,该中心每块球场的建设面积为1000m2,球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关.当该中心建球场x块时,每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用函数f(x)=400来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场?生活中经常会遇到这种成本最低、利润最高等问题,如何处理这些问题呢?二
2、、 数学建构回到上面的情境,题目中涉及多个数据,提到一个函数,解题时可以先粗读也就是通读一遍题目,大致了解一下题意;然后第二遍读题,整理各个数据,理清其间关系,建立函数模型;最后研究这个函数的单调性,求出最小值.需要注意的是建立函数模型的同时要求出这个函数的定义域.三、 数学运用【例1】(教材P98例1)某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C(单位:万元)、单位成本P(单位:万元)、销售收入R(单位:万元)以及利润L(单位:万元)关于总产量x(单位:台)的函数关系式.(见学生用书课堂本P67
3、)处理建议本题给出了几个变量之间的关系,理清后构造出相应的函数,值得注意的是应用题要关注函数的定义域.本题中销售利润L(x)=销售收入R(x)-总成本C(x),其中总成本C(x)=固定成本+可变成本.规范板书解总成本与总产量的关系为C=200+0.3x, xN*.单位成本与总产量的关系为P=+0.3, xN*.销售收入与总产量的关系为R=0.5x, xN*.利润与总产量的关系为L=R-C=0.2x-200, xN*.题后反思理清各个变量之间的关系后,本题的解题思路非常清晰,函数关系也比较简单,把题意数字化后,比较容易处理.【例2】已知将进货单价为8元的商品按10元/个销售时,每天可卖出100个
4、.若将这种商品的销售单价每涨1元,则日销售量就减少10个.为了获得最大利润,则此商品的销售单价应定为多少元?最大利润是多少元?(见学生用书课堂本P68)规范板书解设销售单价应涨价x元,则实际销售单价为(10+x)元,由题意得最大利润为y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=-10(x-4)2+360(0x10),故当x=4时,ymax=360.答:当此商品的销售单价定为14元时,可获得最大利润为360元.题后反思读懂题意是解决应用问题的关键.对于应用问题,一定要让学生自己弄懂题意,列出函数关系式,切不可越俎代庖.还需注意提醒学生写上自变量的适用范围,即函数的定义域.变式随着机
5、构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员2a(1402a0, 0x.又1402a420, 70a210.(1) 当0a-70,此时70,此时140a210时,当x=时,y取到最大值.综上所述,当70a140时,应裁员(a-70)人;当140a0时,f(x)在区间(-, -和, +)上是单调增函数,在区间-, 0)和(0, 上是单调减函数; 当a0时,f(x)在区间(-, 0)和(0, +)上都是单调增函数.1四、 课堂练习1. 做匀加速直线运动的物体,其速度公式为v=v0+at(其中v为物体运动t时的速度,v0为物体运动的初速度,a为物体运动的加速度).现有一物体以5m/s的
6、初速度做匀加速直线运动,经过3s后其速度达到17m/s,则其运动的加速度为4m/s2.2. 生产一定数量某种产品的全部支出称为生产成本,它可表示为该产品生产数量的函数.现知道一企业生产这种产品的数量为x件时的成本函数是C(x)=200+10x+x2(单位:元),若每售出一件这种产品的收入是200元,那么生产并销售这种产品200件时,该企业所得的利润可达到17800元.3. 某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,若生产量每增加一单位产品,则成本增加1万元.又知总收入R(单位:万元)是单位产品数量Q的函数,且R=4Q-Q2,则总利润L的最大值是250万元,此时单位产品的生产数量为300.五、 课堂小结本节课主要研究了求解实际应用题,其一般步骤为:通读题意,提取信息,构造模型,解决问题.解题过程中的难点在于建立合适的数学模型,由于应用题往往涉及的数据较多,因此需要仔细的读题,采集数据,分析题意,确定模型.