1、2.1.2 求曲线方程基础巩固一、选择题1方程(2xy2)0表示的曲线是()A一个点与一条直线B两条射线和一个圆C两个点D两个点或一条直线或一个圆答案B解析原方程等价于x2y210，或，故选B.2若方程x2y2k0与2xyk0所表示的两条直线的交点在方程x2y29的曲线上，则k等于()A3B0C2 D. 一切实数答案A解析两直线的交点为(0，k)，由已知点(0，k)在曲线x2y29上，故可得k29，k3.3在直角坐标系中，方程|x|y1的曲线是()答案C解析由|x|y1知y0，曲线位于x轴上方，故选C.4命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是正确的，下列命题中正确的是()A方程
2、f(x，y)0的曲线是CB方程f(x，y)0是曲线C的方程C方程f(x，y)0的曲线不一定是CD以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上答案C解析不论方程f(x，y)0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)0的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、B、D错误5已知A(2,0)、B(2,0)，ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是()A一个点B两个点C一条直线D两条直线答案D解析设顶点C到边AB的距离为d，则4d10，d5.顶点C到x轴的距离等于5.故顶点C的轨迹是直线y5和y5.6动点在曲线x2y21上移动时，
3、它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A(x3)2y24B(x3)2y21C(2x3)24y21D(x)2y21答案C解析设P点为(x，y)，曲线上对应点为(x1，y1)，则有x，y.x12x3，y12y.(x1，y1)在曲线x2y21上，xy1，(2x3)2(2y)21即(2x3)24y21.二、填空题7方程y所表示的图形是_答案两条射线xy10(x1)和xy10(x1)解析原方程等价于y|x1|xy10(x1)和xy10(x1)8给出下列结论：方程1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线；到x轴距离为2的点的轨迹方程为y2；方程(x24)2(y24)20表示四个点正确的结论的序号
4、是_答案解析方程1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线且扣除点(2,0)，故错；到x轴距离为2的点的轨迹方程为y2或y2，故错；方程(x24)2(y24)20表示点(2,2)，(2，2)，(2，2)，(2,2)，故正确三、解答题9画出方程(xy1)0所表示的曲线解析方程(xy1)0可等价变形为或xy20.由得表示射线xy10(x)原方程表示射线xy10(x)和直线xy20，如下图所示10.设圆C：(x1)2y21，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程解析设所作弦的中点为P(x，y)，连接CP，则CPOP，|OC|1，OC的中点M(，0)，动点P的轨迹是以点M为圆心，以OC为直径的圆
5、，轨迹方程为(x)2y2.点P不能与点O重合，0x1，故所作弦的中点的轨迹方程为(x)2y2(0x1)能力提升一、选择题1方程x2xyx所表示的图形是()A一个点B一条直线C两条直线D一个点和一条直线答案C解析原方程等价于x(xy1)0x0或xy10，故原方程所表示的图形是两条直线2设圆M的方程为(x3)2(y2)22，直线l的方程为xy30，点P的坐标为(2,1)，那么()A点P在直线l上，但不在圆M上B点P在圆M上，但不在直线l上C点P既在圆M上，也在直线l上D点P既不在圆M上，也不在直线l上答案C解析将P(2,1)代入圆M和直线l的方程得，(23)2(12)22且2130，点P(1,2)
6、既在圆(x3)2(y2)22上也在直线l：xy30上，故选C.3平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足4，则点P的轨迹方程是()Axy4B2xy4Cx2y4Dx2y1答案C解析由(x，y)，(1,2)得(x，y)(1,2)x2y4，x2y4即为所求轨迹方程，故选C.4平行四边形ABCD的顶点A、C的坐标分别为(3，1)、(2，3)，顶点D在直线3xy10上移动，则顶点B的轨迹方程为()A3xy200B3xy100C3xy120D3xy90答案A解析设AC、BD交于点O，A、C分别为(3，1)、(2，3)，O点坐标为(，2)，设B点坐标为(x，y)，D点坐标为(5x，4
7、y)，D在直线3xy10上，153x4y10，即3xy200，故选A.二、填空题5由动点P向圆x2y21引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB60，则动点P的轨迹方程为_答案x2y24解析设P(x，y)，x2y21的圆心为O，APB60，OP平分APB，OPB30，|OB|1，OBP为直角，|OP|2，x2y24.6M为直线l：2xy30上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且|AP|PM|3，则动点P的轨迹方程为_答案8x4y30或4x2y150解析设点M、P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设可得或，或，因为点M(x0，y0)在直线2xy30上，所
8、以230或230，即8x4y30或4x2y150.从而点P的轨迹方程为8x4y30或4x2y150.三、解答题7设ABC的两顶点分别是B(1,1)、C(3,6)，求第三个顶点A的轨迹方程，使|AB|BC|.解析设A(x，y)为轨迹上任一点，那么，整理，得(x1)2(y1)229.因为A点不在直线BC上，虽然点C(3,6)及点C关于点B的对称点C(1，4)的坐标是这个方程的解，但不在已知曲线上，所以所求轨迹方程为(x1)2(y1)229(去掉(3,6)和(1，4)两个点)8已知ABC的两个顶点坐标为A(2,0)、B(0，2)，第三个点C在曲线y3x21上移动，求ABC重心的轨迹方程(注：设ABC顶点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，则ABC重心坐标为G(，)解析设C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐标公式得3x20x1,3y02y1，即x13x2，y13y2，C(x1，y1)在曲线y3x21上，3y23(3x2)21.化简得y9x212x3.故ABC的重心的轨迹方程为y9x212x3.(不包括和直线AB的交点)