1、第一讲测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.将曲线y=sin 3x按照伸缩变换x=2x,y=3y后得到的曲线方程为()A.y=3sin32xB.y=3sin 3xC.y=3sin 6xD.y=13sin32x解析由伸缩变换,得x=x2,y=y3.将其代入y=sin3x,有y3=sin32x,即y=3sin32x.所以变换后的曲线方程为y=3sin32x.答案A2.在极坐标系中,已知M-5,3,则下列所给出的不能表示点M的坐标的是()A.5,-3B.5,43C.5,-23D.-5,-53答案A3.若点A的球坐标为5,34,34,则它的直角坐
2、标为()A.-52,52,-522B.-52,52,522C.-52,-52,522D.52,52,-522解析设点A的直角坐标为(x,y,z),则x=rsincos=5sin34cos34=-52,y=rsinsin=5sin34sin34=52,z=rcos=5cos34=-522,所以直角坐标为-52,52,-522.答案A4.在极坐标系中,过点2,3且与极轴垂直的直线方程为()A.=-4cos B.cos -1=0C.sin =-3D.=-3sin 解析设M(,)为直线上除2,3以外的任意一点,则有cos=2cos3,则cos=1,经检验2,3符合方程.所以直线的极坐标方程为cos-1
3、=0.答案B5.在极坐标系中,圆=-2sin (00),y=y(0),将其代入x2+y2=4,得2x2+2y2=4,即2x24+2y24=1,与椭圆x210+y28=1,比较系数得24=110,24=18,解得=25,=12.故满足题意的伸缩变换为x=25x,y=12y,即5x=2x,2y=y.答案D7.在极坐标系中,圆=22sin 的圆心到极轴的距离为()A.11B.112C.113D.22解析由圆的极坐标方程=22sin,得2=22sin,即圆的直角坐标方程为x2+y2-22y=0,标准方程为x2+(y-11)2=121,所以圆心C(0,11)到极轴的距离为11.答案A8.在极坐标系中,圆
4、=2cos 与直线2cos+3=-1的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.无法确定解析圆=2cos与直线2cos+3=-1的直角坐标方程分别为圆(x-1)2+y2=1与x-3y+1=0,圆心(1,0)到直线的距离为d=|1-30+1|2=1=r,所以直线与圆相切.答案B9.若曲线的极坐标方程为=8sin ,则它的直角坐标方程为()A.x2+(y+4)2=16B.x2+(y-4)2=16C.(x-4)2+y2=16D.(x+4)2+y2=16解析由直角坐标和极坐标的互化公式x=cos,y=sin,即2=x2+y2,可得x2+y2=8y,整理得x2+(y-4)2=16.答案B10.导学号73
5、574029在球坐标系中,集合M=(r,)2r6,02,00)的公共弦所在直线的方程为()A.2(sin +cos )=rB.2(sin +cos )=-rC.2(sin +cos )=rD.2(sin +cos )=-r解析圆=r的直角坐标方程为x2+y2=r2,圆=-2rsin+4=-2rsincos4+cossin4=-2r(sin+cos),两边同乘,得2=-2r(sin+cos),所以x2+y2+2rx+2ry=0,由-,并化简得2(x+y)=-r,即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程.将直线2(x+y)=-r化为极坐标方程为2(cos+sin)=-r.答案D二、填空题(本大题共4小
6、题,每小题5分,共20分)13.在极坐标系中,点P(2,0)与点Q关于直线=3对称,则|PQ|=.解析直线=3的直角坐标方程为y=3x.设点P到直线的距离为d,则|PQ|=2d=2231+3=23.答案2314.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为cos =3,=6sin 0,02,则曲线C1与C2交点的极坐标为.解析cos=3,=6sin,将代入,得6sincos=3,sin2=1.02,=4.代入得=32.C1与C2交点的极坐标为32,4.答案32,415.已知点M的柱坐标为23,23,23,则点M的直角坐标为,球坐标为.解析设点M的直角坐标为(x,y,z),球坐标为(r,).由x=cos
7、,y=sin,z=z,得x=23cos23=-3,y=23sin23=33,z=23.由r=x2+y2+z2,cos=zr,得r=223,cos=22,即r=223,=4.所以点M的直角坐标为-3,33,23,球坐标为223,4,23.答案-3,33,23223,4,2316.导学号73574031在极坐标系中,由三条直线=0,=3,cos +sin =1围成的图形的面积是.解析因为三条直线=0,=3,cos+sin=1在平面直角坐标系中对应的直线方程分别为y=0,y=3x,x+y=1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示.则点A(1,0),B3-12,3-32.所以SAOB=123-321=3
8、-34.答案3-34三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知伸缩变换表达式为x=2x,y=13y,曲线C在此变换下变为椭圆x24+y2=1,求曲线C的方程.解因为x=2x,y=13y,所以将其代入方程x24+y2=1,得(2x)24+13y2=1,即x2+y29=1.故曲线C的方程为x2+y29=1.18.(本小题满分12分)已知定点P4,3.(1)将极点移至O23,6处,极轴方向不变,求点P的新坐标;(2)极点不变,将极轴顺时针转动6角,求点P的新坐标.解(1)设点P的新坐标为(,),如图所示,由题意可知,|OO|=
9、23,|OP|=4,POx=3,OOx=6,所以POO=6.在POO中,2=42+(23)2-2423cos6=16+12-24=4,则=2.又sinOPO23=sinPOO2,所以sinOPO=sin6223=32,即OPO=3.所以OPP=-3-3=3,则PPx=23,POx=23.故点P的新坐标为2,23.(2)如图所示,设点P的新坐标为(,),则=4,=3+6=2.故点P的新坐标为4,2.19.(本小题满分12分)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C1:=2cos -4sin ,C2:sin -2cos +1=0.(1)将C1的方程化为直角坐标方程;(2)求曲线C
10、1和C2两交点A,B之间的距离.解(1)由=2cos-4sin,得2=2cos-4sin.x2+y2=2x-4y.C1的直角坐标方程为(x-1)2+(y+2)2=5.(2)C2:sin-2cos+1=0化为直角坐标方程为y-2x+1=0.圆心(1,-2)到直线的距离d=|-2-2+1|5=35,|AB|=2(5)2-352=85=855.20.(本小题满分12分)已知定点A(a,0),动点P对极点O和点A的张角OPA=3.在OP的延长线上取点Q,使|PQ|=|PA|.当点P在极轴所在直线的上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.解设点Q,P的坐标分别是(,),(1,1),则=1.在POA中,|O
11、P|=1=asin3sin23-,|PA|=asinsin3.又|OQ|=|OP|+|PQ|=|OP|+|PA|,化简可得=2acos3-.故点Q的轨迹的极坐标方程为=2acos3-.21.导学号73574032(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心C3,3,半径r=3.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点Q在圆C上运动,点P在OQ的延长线上,且OQ=2QP,求动点P的轨迹的极坐标方程.解(1)设M(,)是圆C上除极点外的任意一点,连接OM,CM.在OCM中,COM=-3,由余弦定理得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM|OC|cosCOM,即32=2+32-23cos-3,
12、=6cos-3.因为极点适合上式,所以圆C的极坐标方程为=6cos-3.(2)设点Q为(1,1),点P为(,),由OQ=2QP,得OQ=2(OP-OQ),即OQ=23OP,所以1=23,1=.因为点Q在圆C上,所以有1=6cos1-3.将1=23,1=,代入圆1=6cos1-3的方程,得23=6cos-3,即=9cos-3.故动点P的轨迹的极坐标方程为=9cos-3.22.导学号73574033(本小题满分12分)在极坐标系中,极点为O,已知曲线C1:=2与曲线C2:sin-4=2交于不同的两点A,B.(1)求|AB|的值;(2)求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.解(1)(方法一)=2,x2+y2=4,半径r=2.又sin-4=2,y=x+2.原点(0,0)到直线x-y+2=0的距离d=22=2,|AB|=2r2-d2=24-(2)2=22.(方法二)设A(,1),B(,2),1,20,2),则sin1-4=22,sin2-4=22.1,20,2),|1-2|=2,即AOB=2.又|OA|=|OB|=2,|AB|=22.(2)曲线C2的斜率为1,过点(1,0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y=x-1,直线l的极坐标方程为sin=cos-1,即cos+4=22.
