1、3.1.2复数的几何意义内容标准学科素养1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；2.掌握实轴、虚轴、模等概念；3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.严格数学定义提升数学运算熟练数形结合授课提示：对应学生用书第51页基础认识知识点一复平面知识梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二复数的几何意义1实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与坐标平面内的点一一对应复数与坐标平面内的点可以一一对应吗？提示：复数zabi(a，bR)由(a，b)唯一确定，因此复数z与
2、坐标平面内的点(a，b)一一对应2如何建立复数与复平面内的向量之间的一一对应关系？提示：当向量的始点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系知识梳理复数的几何意义知识点三复数的模知识梳理复数zabi(a，bR)，对应的向量为，则向量的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|.由模的定义可知：|z|abi|r(r0，rR)思考：1.原点在虚轴上，则数0是虚数吗？提示：不是虽然原点在虚轴上，但数0是一个确定的实数，而不是虚数2两个虚数不能比较大小，那两个虚数的模能比较大小吗？提示：复数的模就是复平面内向量的长度，它是一个实数，因此可以比较大小自我检测1已知
3、复数zi，复平面内对应点Z的坐标为()A(0,1) B(1,0)C(0,0) D(1,1)解析：复数zi的实部为0，虚部为1，对应点Z(0,1)故选A.答案：A2已知a，bR，那么在复平面内对应于复数abi，abi的两个点的位置关系是()A关于x轴对称 B关于y轴对称C关于原点对称 D关于直线yx对称解析：在复平面内对应于复数abi，abi的两个点为(a，b)和(a，b)关于y轴对称答案：B3已知复数z(m3)(m1)i的模等于2，则实数m的值为_解析：依题意可得2，解得m1或3.答案：1或3授课提示：对应学生用书第52页探究一复数与复平面内点的关系例1实数x分别取什么值时，复数z(x2x6)
4、(x22x15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线xy30上解析因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足即当3x2时，点Z在第三象限(2)zx2x6(x22x15)i对应点Z(x2x6，x22x15)，当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即当x2时，点Z在直线xy30上延伸探究若本例中的条件不变，其对应的点在(1)虚轴上；(2)第四象限解析：(1)当实数x满足x2x60，即当x3或2时，点Z在虚轴上(2)当实数x满足即当2x5时，点Z在第四象限方法技巧利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数zabi(a，bR)可以用复平面
5、内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据(2)列出方程(组)或不等式(组)：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示跟踪探究1.求实数a分别取何值时，复数z(a22a15)i(aR)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x轴上方解析：(1)点Z在复平面的第二象限内，则解得a3.故满足条件的实数a的取值范围为(，3)(2)点Z在x轴上方，则则(a3)(a5)0，解得a5或a3.故满足条件的实数a的取值范围为(，3)(5，)探究二复数与复平面内向量的对应关系例2
6、在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是23i,32i，23i，求点D对应的复数解析由题意得(2,3)，(3,2)，(2，3)设(x，y)，则(x2，y3)，(5，5)由题意知，所以即故点D对应的复数为32i.方法技巧复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化跟踪探究2.在复平面内，A，B，
7、C三点对应的复数分别为1,2i，12i.(1)求向量，对应的复数(2)判定ABC的形状解析：(1)由复数的几何意义知：(1,0)，(2,1)，(1,2)，所以(1,1)，(2,2)，(3,1)，所以，对应的复数分别为1i，22i，3i.(2)A(1,0)，B(2,1)，C(1,2)，0，所以ABC是直角三角形探究三复数的模例3(1)复数z1sin icos ，z223i，试比较|z1|与|z2|的大小；(2)求满足条件2|z|3的复数z在复平面上表示的图形解析(1)因为| z1|，|z2|23i|，且，所以|z1|z2|.(2)如图，图形是以原点O为圆心，半径分别为2个单位长和3个单位长的两个
8、圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周方法技巧(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小(2)根据复数模的计算公式|abi|可把复数模的问题转化为实数问题解决(3)根据复数模的定义|z|，可把复数模的问题转化为向量模(即两点间的距离)的问题解决跟踪探究3.(1)设z为纯虚数，且|z1|1i|，则复数z_；(2)设zC，且|zi|z1|，则复数z在复平面内的对应点Z(x，y)的轨迹方程是_，|zi|的最小值是_解析：(1)因为z为纯虚数，所以设zai(aR，且a0)，则|z1|ai1|.又因为|1i|，所以，即a21，所以a1，即zi.(2)|zi|z1|表示复数z在复平面内的对应点Z到点(0,
9、1)，(1,0)的距离相等，所以轨迹方程是xy0.|zi|的最小值点(0，1)到直线xy0的距离，所以|zi|min.答案：(1)i(2)xy0授课提示：对应学生用书第53页课后小结(1)复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径复数zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)复数zabi(a，bR)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个(2)复数的模复数zabi(a，bR)的模|z|；从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离 素养培优混淆复数的模与实数的绝对值易错案例：求方程5|x|60在复数集上解的个数易错分析：复数的模是实数绝对值概念的扩充，但在求解有关问题时，不能将其当成实数的绝对值加以求解，否则易出现错解、漏解，造成答案不完整或错误考查数学概念、数学运算等核心素养自我纠正：设xabi(a，bR)原方程可化为，即a2b2，在复平面上满足此条件的点有无数个，所以原方程在复数集上有无数个解.