1、第1讲集合及其运算知 识 梳 理1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系为属于或不属于关系，分别用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法(4)常用数集：自然数集N、正整数集N*(或N)、整数集Z、有理数集Q、实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集2集合间的基本关系(1)子集：对任意的xA，有xB，则AB(或BA)(2)真子集：若AB，且AB，则AB(或BA)(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集即A，B(B)(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集
2、有2n1个(5)集合相等：若AB，且BA，则AB.3集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：ABx|xA，或xB；交集：ABx|xA，且xB；补集：UAx|xU，且xAU为全集，UA表示A相对于全集U的补集(2)集合的运算性质并集的性质：AA；AAA；ABABA.交集的性质：A；AAA；ABAAB.补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.辨 析 感 悟1元素与集合的辨别(1)若x2,10,1，则x0,1.()(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n1，非空真子集的个数是2n2.()(3)若Ax|yx2，B(x，y)|yx2，则ABx|xR()2对集合基本
3、运算的辨别(4)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)总成立()(5)(2013浙江卷改编)设集合Sx|x2，Tx|4x1，则STx|2x1()(6)(2013陕西卷改编)设全集为R，函数f(x)的定义域为M，则RMx|x1，或x1()感悟提升1一点提醒求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件如第(3)题就是混淆了数集与点集2两个防范一是忽视元素的互异性，如(1)；二是运算不准确，尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，如(6).考点一集合的基本概念【例1】 (1)(2013江西卷改编)若集合AxR|ax
4、2ax10中只有一个元素，则a_.(2)(2013山东卷改编)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是_解析(1)由ax2ax10只有一个实数解，可得当a0时，方程无实数解；当a0时，则a24a0，解得a4.(a0不合题意舍去)(2)xy2，1,0,1,2答案(1)4(2)5规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性【训练1】 已知aR，bR，若a2，ab,0，则a2 014b2 014_.解析由已知得0及a0，所以b0，于是a21，即a1或a1，又根据集合中元素的互异性可知a1应舍去
5、，因此a1，故a2 014b2 0141.答案1考点二集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围(2)设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，求m的值解(1)当B时，有m12m1，则m2.当B时，若BA，如图则解得2m4.综上，m的取值范围是(，4(2)A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，则m1；若B2，则应有(m1)(2)(2)4，且m(2)(2)4，这两式不能同时成立，B2；若B1，2，则应有(m1)(1)(2)3，且
6、m(1)(2)2，由这两式得m2.经检验知m1和m2符合条件m1或2.规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论【训练2】 (1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为_(2)(2014郑州模拟)已知集合A1,1，Bx|ax10，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为_解析(1)由题意知：A1,2，B1,2,3,4又ACB，则集合C可能为1,2
7、，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4(2)a0时，Bx|10A；a0时，BA，则1或1，故a0或a1或1.答案(1)4(2)考点三集合的基本运算【例3】 (1)(2013山东卷改编)已知集合A，B均为全集U1,2，3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则AUB_.(2)(2014唐山模拟)若集合My|y3x，集合Sx|ylg(x1)，则下列各式正确的是_MSM；MSS；MS；MS审题路线(1)AUB3；(2)先分别求出集合M，S，再判断各式解析(1)由U(AB)4知AB1,2,3又B1,2，3A，UB3,4，AUB3(2)My|y0，Sx|x1，故只有正确答案(1)3(2)规律方法 一般
8、来讲，集合中的元素离散时，则用Venn图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况【训练3】 (1)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，则(UA)B为_(2)已知全集UR，集合Ax|1x3，集合Bx|log2(x2)1，则A(UB)_.解析(1)UA0,4，(UA)B0,2,4(2)由log2(x2)1，得0x22,2x4，所以Bx|2x4故UBx|x2，或x4，从而A(UB)x|1x2答案(1)0,2,4(2)x|1x2数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化
9、简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决创新突破1与集合有关的新概念问题【典例】 已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为_解析法一(列表法)因为xA，yA，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及xy的取值如下表所示：12345101234210123321012432101543210由题意xyA，故xy只能取1,2,3,4，由表可知实数对(x，y)的取值满足条件的共有10个，即B中的元素个数为10.法二(直接法)因为A1,2,3,4,5，所以
10、集合A中的元素都为正数，若xyA，则必有xy0，xy.当y1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；当y2时，x可取3,4,5，共有3个数；当y3时，x可取4,5，共有2个数；当y4时，x只能取5，共有1个数；当y5时，x不能取任何值综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为432110.答案10反思感悟 (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力【自主体验】设A是整
11、数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A，且k1A，那么称k是A的一个“好元素”给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_个解析依题，可知由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数故这样的集合共有6个答案6基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2013安徽卷改编)已知Ax|x10，B2，1,0,1则(RA)B_.解析因为Ax|x1，则RAx|x1，所以(RA)B2，1答案2，12已知集合M1,2,3，N2,3,4，则下列各式不正确的是_MN；NM；MN2,3；MN1,4解析由已知得MN2,3，故
12、选.答案3已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，则P的子集个数有_解析PMN1,3，故P的子集共有4个答案44已知集合Ax|x2x20，Bx|1x1，则A与B的关系是_解析集合Ax|1x2，Bx|1x1，则BA.答案BA5设集合Ax|x22x80，Bx|x1，则图中阴影部分表示的集合为_解析阴影部分是ARB.集合Ax|4x2，RBx|x1，所以ARBx|1x2答案x|1x26(2013湖南卷)已知集合U2,3,6,8，A2,3，B2,6,8，则(UA)B_.解析由集合的运算，可得(UA)B6,82,6,86,8答案6,87集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，
13、则a的值为_解析根据并集的概念，可知a，a24,16，故只能是a4.答案48集合AxR|x2|5中的最小整数为_解析由|x2|5，得5x25，即3x7，所以集合A中的最小整数为3.答案3二、解答题9已知集合Aa2，a1，3，Ba3，a2，a21，若AB3，求AB.解由AB3知，3B.又a211，故只有a3，a2可能等于3.当a33时，a0，此时A0,1，3，B3，2，1，AB1，3故a0舍去当a23时，a1，此时A1,0，3，B4，3,2，满足AB3，从而AB4，3,0,1,210设Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，(1)若BA，求a的值；(2)若AB，求a的值解(1)A0，4
14、，当B时，4(a1)24(a21)8(a1)0，解得a1；当B为单元素集时，a1，此时B0符合题意；当BA时，由根与系数的关系得：解得a1.综上可知：a1或a1.(2)若AB，必有AB，由(1)知a1.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1若集合A1,1，B0,2，则集合z|zxy，xA，yB中的元素的个数为_解析当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z1；当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z3.故z的值为1,1,3，故所求集合为1,1,3，共含有3个元素答案32已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.解析Ax|5x1，因为ABx|
15、1xn，Bx|(xm)(x2)0，所以m1，n1.答案113设a，b，c为实数，f(x)(xa)(x2bxc)，g(x)(ax1)(cx2bx1)记集合Sx|f(x)0，xR，Tx|g(x)0，xR若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论：|S|1且|T|0；|S|1且|T|1，|S|2且|T|2；|S|2且|T|3，其中不可能成立的是_解析取a0，b0，c0，则Sx|f(x)x30，|S|1，Tx|g(x)10，|T|0.因此可能成立取a1，b0，c1，则Sx|f(x)(x1)(x21)0，|S|1，Tx|g(x)(x1)(x21)0，|T|1，因此可能成立取a1，b0，c1，则Sx|f(x)(x1)(x21)0，|S|2，Tx|g(x)(x1)(x21)0，|T|2.因此可能成立对于，若|T|3，则b24c0，从而导致f(x)(xa)(x2bxc)也有3解，因此|S|2且|T|3不可能成立故不可能成立答案二、解答题4已知集合Ay|y2x1,0x1，Bx|(xa)x(a3)0分别根据下列条件，求实数a的取值范围(1)ABA；(2)AB.解因为集合A是函数y2x1(0x1)的值域，所以A(1,1，B(a，a3)(1)ABAAB即2a1，故当ABA时，a的取值范围是(2，1(2)当AB时，结合数轴知，a1或a31，即a1或a4.故当AB时，a的取值范围是(4,1).