1、1.5.3定积分的概念明目标、知重点1了解定积分的概念，会用定义求定积分2理解定积分的几何意义3掌握定积分的基本性质 定积分概念一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1x2xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式f(i)x f(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式几何意义如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(
2、x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积.基本性质kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb).探究点一定积分的概念思考1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限思考2怎样正确认识定积分f(x)dx?答(1)定积分f(x)dx是一个数值(极限值)它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外f(x)dx与积分区间a，b息息相关，
3、不同的积分区间，所得值也不同(2)定积分就是和的极限(i)x，而f(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”(3)函数f(x)在区间a，b上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)例1利用定积分的定义，计算x3dx的值解令f(x)x3.(1)分割在区间0,1上等间隔地插入n1个分点，把区间0,1等分成n个小区间，(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，则x3dxSnf()x ()3i3n2(n1)2(1)2.(3)取极限x3dxSn (1)2.反思与
4、感悟(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤(2)从过程来看，当f(x)0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积跟踪训练1用定义计算(1x)dx.解(1)分割：将区间1,2等分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)近似代替、求和：在上取点i1(i1,2，n)，于是f(i)112，从而得f(i)x(2)n012(n1)22.(3)取极限：S 2.因此(1x)dx.探究点二定积分的几何意义思考1从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么f(
5、x)dx表示什么？答当函数f(x)0时，定积分f(x)dx在几何上表示由直线xa，xb(a0，f(i)0，故f(i)0.从而定积分f(x)dx0，这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，即f(x)dxS.当f(x)在区间a，b上有正有负时，定积分f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线xa，xb(ab)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)(如图)，即f(x)dxS1S2S3.例2利用几何意义计算下列定积分：(1)dx；(2)(3x1)dx.解(1)在平面上y表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S32.由定积分的几何意义知dx.(2)由直线x
6、1，x3，y0，以及y3x1所围成的图形，如图所示：(3x1)dx表示由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，(3x1)dx(3)(331)(1)216.反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定跟踪训练2根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx；(2)cos xdx；(3)|x|dx.解(1)如图(1)，xdxA1A10.(2)如图(2)，cos xdxA1A2A30.(3)如图(3)，A1A2，|x|dx2A121.(A1，A
7、2，A3分别表示图中相应各处面积) 探究点三定积分的性质思考1定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广f1(x)f2(x)fn(x)dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx；f(x)dxc1af(x)dxc2c1f(x)dxbcnf(x)dx(其中nN*)思考2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？答奇、偶函数在区间a，a上的定积分若奇函数yf(x)的图象在a，a上连续不断，则f(x)dx0.若偶函数yg(x)的图象在a，a上连续不断，则g(x)dx2g(x)dx.例3计算(x3)dx的值解如图，由定积分的几何意义得dx，x3dx0，由定积分性质得(x3)dxdxx3dx.
8、反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算跟踪训练3已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x22x3)dx.解(1)3x3dx3x3dx3(x3dxx3dx)3()12；(2)6x2dx6x2dx6(x2dxx2dx)6()126；(3)(3x22x3)dx3x2dx2x3dx3x2dx2x3dx327.1下列结论中成立的个数是()x3dx；x3dx；x3dx.A0 B1 C2 D3答案C解析成立2定积分f(x)dx的大小()A与f(x)和积
9、分区间a，b有关，与i的取法无关B与f(x)有关，与区间a，b以及i的取法无关C与f(x)以及i的取法有关，与区间a，b无关D与f(x)、积分区间a，b和i的取法都有关答案A3根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：xdx_x2dx；dx_2dx.答案0D若f(x) 在a，b上连续且f(x)dx0，则f(x)在a，b上恒正 答案D解析对于A，f(x)f(x)，f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)0时，f(x)dx0即C正确；但f(x)dx0，不一定有f(x)恒正，故选D.2已知定积分f(x)dx8，且f(x)为偶函数，
10、则f(x)dx等于()A0 B16 C12 D8答案B解析偶函数图象关于y轴对称，故f(x)dx2f(x)dx16，故选B.3已知xdx2，则xdx等于()A0 B2 C1 D2答案D解析f(x)x在t，t上是奇函数，xdx0.而xdxxdxxdx，又xdx2，xdx2.故选D.4由曲线yx24，直线x0，x4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A(x24)dxB.C|x24|dxD(x24)dx(x24)dx答案C5设axdx，bx2dx，cx3dx，则a，b，c的大小关系是()Acab BabcCabc Dacb答案B解析根据定积分的几何意义，易知x3dxx2dxbc，故选B.6若|5
11、6x|dx2 016，则正数a的最大值为()A6 B56 C36 D2 016答案A解析由|56x|dx56|x|dx2 016，得|x|dx36，|x|dx2xdxa236，即0a6.故正数a的最大值为6.7.ln 等于()Aln2xdx B2ln xdxC2ln(1x)dx Dln2(1x)dx答案B解析ln ln2 2ln xdx(这里f(x)ln x，区间1,2或者2 2ln(1x)dx，区间0,1)二、能力提升8由ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式是S_.答案sin xdx解析由定积分的意义知，由ysin x，x0，x，y0围成图形的面积为Ssin xdx.
12、9计算定积分dx_.答案解析由于dx2dx表示单位圆的面积，所以dx.10设f(x)是连续函数，若f(x)dx1，f(x)dx1，则f(x)dx_.答案2解析因为f(x)dxf(x)dxf(x)dx，所以f(x)dxf(x)dxf(x)dx2.11利用定积分的定义计算(x22x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么解令f(x)x22x.(1)分割在区间1,2上等间隔地插入n1个分点，把区间1,2等分为n个小区间1，1(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)近似代替、求和取i1(i1,2，n)，则Snf(1)x(1)22(1)(n1)2(n2)2(n3)2(2n)2(n1)(n2)(
13、n3)2n(2)(4)(1)(2)3.(3)取极限(x22x)dxSn(2)(4)(1)(2)3，(x22x)dx的几何意义为由直线x1，x2，y0与曲线f(x)x22x所围成的曲边梯形的面积12用定积分的意义求下列各式的值：(1)(2x1)dx；(2)dx.解(1)在平面上，f(x)2x1为一条直线，(2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3与x轴围成的直角梯形OABC的面积，如图(1)所示，其面积为S(17)312.根据定积分的几何意义知(2x1)dx12.(2)由y可知，x2y21(y0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知dx等于圆心角为120的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形1211sin ，S矩形|AB|BC|2，dx.三、探究与拓展13已知函数f(x)，求f(x)在区间2,2上的积分解由定积分的几何意义知x3dx0，2xdx24，cos xdx0，由定积分的性质得f(x)dxx3dx2xdxcos xdx24.