1、31数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念内容标准学科素养1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程；2.理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.严格数学定义适当转化化归提升数学运算授课提示：对应学生用书第49页基础认识知识点一复数的概念及代数表示为解决方程x22在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210在实数系中无根的问题呢？提示：设想引入新数i，使i是方程x210的根，即ii1，方程x210有解，同时得到一些新数知识梳理(1)复数定义：把集合Cabi|a，bR中
2、的数，即形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi.(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式(2)复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母C表示知识点二两个复数相等的充要条件知识梳理在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，我们规定：abi与cdi相等的充要条件是ac且bd.知识点三复数的分类知识梳理(1)复数(abi，a，bR)(2)集合表示：思考：虚数为什么不能比较大小？提示：引入虚数单位i后，规定i21，但i与0的大小关系不能确定理由如下：若i
3、0，则2ii，两边同乘i，得2i2i2，即21，与实数系中数的大小规定相矛盾；若i0，则212ii2iiii21，与实数系中数的大小规定也是矛盾的故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分自我检测1若复数(a1)(a21)i(aR)是实数，则a()A1 B1 C1 D不存在解析：(a1)(a21)i(aR)为实数的充要条件是a210，所以a1.答案：C2已知2aib3i(a，bR)(i为虚数单位)，则ab()A5 B6 C1 D1解析：由题意得b2，a3，所以ab1.答案：D3已知复数za2(2a3)i(aR)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是_解析：a22a3，解得a3或a1.答案：(，1)
4、(3，)授课提示：对应学生用书第50页探究一复数的概念例1(1)给出下列三个命题：若zC，则z20；2i1虚部是2i；2i的实部是0.其中真命题的个数为()A0 B1 C2 D3(2)若aR，i为虚数单位，则“a1”是“复数(a1)(a2)(a3)i为纯虚数”的()A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分又不必要条件解析(1)对于，当zR时，z20成立，否则不成立，如zi，z210，所以为假命题；对于，2i112i，其虚部为2，不是2i，所以为假命题；对于，2i02i，其实部是0，所以为真命题(2)当a1时，复数(a1)(a2)(a3)i4i为纯虚数，当复数(a1)(a2)(a
5、3)i为纯虚数时，a1或a2，所以选C.答案(1)B(2)C方法技巧(1)复数的代数形式：若zabi，只有当a，bR时，a才是z的实数，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答跟踪探究1.写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：4,23i，i,5i,6i.解析：4,23i，i,5i,6i的实部分别是4,2，5,0；虚部分别是0，3，6.其中4是实数；23i，
6、i,5i,6i是虚数，其中6i是纯虚数探究二复数的分类例2当m为何实数时，复数z(m22m15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数解析(1)当即m5且m3时，z是虚数(2)当即m3或m2时，z是纯虚数延伸探究1.本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？解析：当即m5时，z是实数2本例中条件不变，若z0，求m的值. 解析：因为z0，所以z为实数，需满足解得m5.方法技巧解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方
7、程(不等式)即可(3)下结论：设所给复数为zabi(a，bR)，z为实数b0；z为虚数b0；z为纯虚数a0且b0.跟踪探究2.记I为虚数集，设a，bR，x，yI，则下列类比所得的结论正确的是()A由a bR，类比得xyIB由(ab)2a22abb2，类比得(xy)2x22xyy2C由a20，类比得x20D由ab0ab，类比得xy0xy解析：A：取xyi，可知A错误；B：正确；C：取xi，可知C错误；D：错误，虚数是不能比较大小的答案：B探究三复数相等例3已知集合P5，(m22m)(m2m2)i，Q4i,5，若PQPQ，求实数m的值解析由题意知PQ，所以(m22m)(m2m2)i4i，所以解得m
8、2.方法技巧(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，dR，即当a，b，c，dR时，abicdiac且bd.若忽略前提条件，则结论不成立(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解跟踪探究3.(1)若(xy)yi(x1)i，求实数x，y的值；(2)已知a2(m2i)a2mi0(mR)成立，求实数a的值；(3)若关于x的方程3x2x1(10x2x2)i有实根，求实数a的值解析：(1)由复数相等的充要条件，得解得(2)因为a，mR，所以由a2am2(2am)i0，可得解得或所以a.(3)设方程的实根为xm，则原方程可变为3
9、m2m1(10m2m2)i，所以解得a11或.授课提示：对应学生用书第51页课后小结(1)对于复数zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况(2)两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断 素养培优忽略复数的概念比较大小致误易错案例：已知复数x21(y1)i大于复数2x3(y21)i，试求实数x，y的取值范围易错分析：虚数不能比较大小，因此，若已知两个复数大小，则两复数必须是实数，忽略这一点很容易混淆概念致误考查数学概念、数学运算等核心素养自我纠正：因为x21(y1)i2x3(y21)i，所以且x212x3，解得y1且x1或x1，即实数x，y的取值范围是x1或x1，y1.