1、6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课后篇巩固提升基础巩固1.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是() A.a-c与b共线B.b+c与a共线C.a与b-c共线D.a+b与c共线答案C解析b=(5,7),c=(2,4),b-c=(3,3).b-c=12a.a与b-c共线.2.已知点A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),当AB=a+2b时,点B的坐标为()A.(2,7)B.(0,-7)C.(3,-6)D.(-4,5)答案B解析a=(-1,0),b=(1,-1),a+2b=(-1,0)+2(1,-1)=(1,-
2、2).设点B的坐标为(x,y),则AB=(x+1,y+5),由已知得(x+1,y+5)=(1,-2),x+1=1,y+5=-2,解得x=0,y=-7.点B的坐标为(0,-7).3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于()A.(-2,6)B.(-4,0)C.(7,6)D.(-2,0)答案D解析a-3b+2c=0,(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即2x-5+9=0,2y+6-6=0,x=-2,y=0,即c=(-2,0).故选D.4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb共线,则mn等于()A
3、.-2B.2C.-12D.12答案C解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n).因为a-2b与非零向量ma+nb共线,所以2m-n4=3m+2n-1,解得14m=-7n,mn=-12.5.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点D的坐标为()A.2,72B.2,-12C.(3,2)D.(1,3)答案A解析设顶点D的坐标为(x,y),因为BC=(4,3),AD=(x,y-2),且BC=2AD,所以2x=4,2y-4=3,所以x=2,y=72,所以选
4、A.6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=.答案12解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,),由c(2a+b),得4-2=0,得=12.7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且ab,则3a+2b=.答案(14,7)解析因为向量a=(2,1),b=(m,2),且ab,所以1m-22=0,解得m=4.所以b=(4,2).故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7).8.已知OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=.答案9或92解析AB=OB-O
5、A=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),BC=OC-OB=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).因为A,B,C共线,所以AB与BC共线,所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).又m=2n,解组成的方程组得m=6,n=3或m=3,n=32.所以m+n=9或m+n=92.9.已知点A(-1,2),B(2,8),及AC=13AB,DA=-13BA,求点C,D和CD的坐标.解设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).AC=13AB,DA=-13BA,(x1+1,y1-2
6、)=13(3,6),(-1-x2,2-y2)=-13(-3,-6),即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).x1+1=1,y1-2=2,-1-x2=1,2-y2=2.x1=0,y1=4,x2=-2,y2=0.点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0).故CD=(-2,-4).10.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求实数x的值,使向量AB与CD共线;(2)当向量AB与CD共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上?解(1)AB=(x,1),CD=(4,x).ABCD,x2=4,x=2.(2)由已知得BC=(2-2x,x-
7、1),当x=2时,BC=(-2,1),AB=(2,1),AB和BC不平行,此时A,B,C,D不在一条直线上.当x=-2时,BC=(6,-3),AB=(-2,1),ABBC,此时A,B,C三点共线.又ABCD,A,B,C,D四点在一条直线上.综上,当x=-2时,A,B,C,D四点在一条直线上.11.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及MN的坐标.解a=AB=(5,-5),b=BC=(-6,-3),c=CA=(1,8).(1)3a+b-
8、3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)a=mb+nc,(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).5=-6m+n,-5=-3m+8n,m=-1,n=-1.(3)设M(x1,y1),由CM=3c,得(x1+3,y1+4)=3(1,8),x1+3=3,y1+4=24.x1=0,y1=20.M(0,20).同理,设N(x2,y2),由CN=-2b,得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).x2+3=12,y2+4=6,解得x2=9,y2=2.N(9,2).MN=(9,-18).12.如图,已知AOB中,A(0,5),O(0
9、,0),B(4,3),OC=14OA,OD=12OB,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.解因为OC=14OA=14(0,5)=0,54,所以C0,54.因为OD=12OB=12(4,3)=2,32,所以D2,32.设M(x,y),则AM=(x,y-5),CM=x,y-54,CB=4,74,AD=2,32-(0,5)=2,-72.因为AMAD,所以-72x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.因为CMCB,所以74x-4y-54=0,即7x-16y=-20.联立,解得x=127,y=2,故点M的坐标为127,2.能力提升1.已知点A(3,1),B(0,0),C(3,0).设BAC的平分线AE
10、与BC相交于点E,设BC=CE,则等于()A.2B.12C.-3D.-13答案C解析如图,由已知得,ABC=BAE=EAC=30,AEC=60,|AC|=1,|EC|=1tan60=33.BC=CE,0,|=|BC|CE|=333=3.=-3.2.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“”,向量ab=(a1,b1)(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=2,12,n=3,0,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足OQ=mOP+n(其中O为坐标原点
11、),则y=f(x)的最小值为()A.-1B.-2C.2D.12答案B解析由题意知,点P的坐标为(x,sin x),则OQ=mOP+n=12x,2sinx+3,0=12x+3,2sinx.又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin12x+3.所以函数y=f(x)的最小值为-2.3.设向量OA绕点O逆时针旋转2得向量OB,且2OA+OB=(7,9),且向量OB=.答案-115,235解析设OA=(m,n),则OB=(-n,m),所以2OA+OB=(2m-n,2n+m)=(7,9),即2m-n=7,m+2n=9,解得m=235,n
12、=115.因此OB=-115,235.4.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且AC=12BC,连接DC延长至E,使|CE|=14|ED|,则点E的坐标为.答案83,-7解析设C(x1,y1),依题意有(x1-2,y1+1)=12(x1-1,y1-4),解得x1=3,y1=-6,即C(3,-6).又依题意可得EC=14DE,设E(x0,y0),所以(x0-3,y0+6)=14(x0-4,y0+3),解得x0=83,y0=-7,故点E坐标为83,-7.5.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.解法一由O,P,
13、B三点共线,可设OP=OB=(4,4),则AP=OP-OA=(4-4,4),AC=OC-OA=(-2,6).由AP与AC共线得(4-4)6-4(-2)=0,解得=34,所以OP=34OB=(3,3),所以点P的坐标为(3,3).解法二设P(x,y),则OP=(x,y),因为OB=(4,4),且OP与OB共线,所以x4=y4,即x=y.又AP=(x-4,y),AC=(-2,6),且AP与AC共线,则得(x-4)6-y(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).6.已知点O是ABC内一点,AOB=150,BOC=90,设OA=a,OB=b,OC=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量AB,BC的坐标.解如图所示,以点O为原点,OA所在直线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.|OB|=1,AOB=150,B(-cos 30,sin 30),B-32,12.|OC|=3,C(-3sin 30,-3cos 30),即C-32,-323.又A(2,0),AB=-32,12-(2,0)=-32-2,12,BC=-32,-323-32,12=3-32,-33-12.