1、1.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为侧面CC1D1D的中心若zxy，则xyz的值为()A1B. C2D.答案C解析.xyz12.2若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的可能是()Aa(1,0,0)，n (2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1，2,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)， n(0,3，1)答案B解析欲使l，应有na，na0，故选B.3二面角l等于60，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACa，BD2a，则CD的长等于()A.a B.a C2a Da答案C解析如图二面角l等于60，与夹角为60.由题设知
2、，|a，|2a，|2|2|2|2|22224a2，|2a.4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(4,5，x)，若a、b、c三向量共面，则|c|()A5 B6 C. D.答案C解析a、b、c三向量共面，存在实数、，使cab，(4，5，x)(2，4，32)，x5，|c|.5已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为()Aa2 B.a2C.a2 D.a2答案C解析()()(a2cos60a2cos60)a2.故选C.6将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足，则|2的值为()A. B2C. D.答案D解析由题意，翻折后A
3、CABBC，ABC60，|2|2|2|2|2211cos601cos451cos45.7(2012河南六市联考)如图，在平行四边形ABCD中，0,2 2 24，若将其沿BD折成直二面角ABDC，则三棱锥ABCD的外接球的体积为_答案解析因为ABBD，二面角ABDC是直二面角，所以AB平面BCD，ABBC，ADDC.故ABC，ADC均为直角三角形取AC的中点M，则MAMCMDMB，故点M即为三棱锥ABCD的外接球的球心由222422224，AC2，R1.故所求球的体积为V.8(2011金华模拟)已知点A(4,1,3)，B(2，5,1)，C为线段AB上一点且，则点C的坐标为_答案(，1，)解析C为
4、线段AB上一点，存在实数0，使，又 (2，6，2)，(2，6，2)，(，2，)，C(，1，)9.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和的值为_答案1解析以D1为原点，直线D1A1、D1C1、D1D为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，设DFt，CEk，则D1F1t，F(0,0,1t)，E(k,1,1)，要使B1E平面ABF，易知ABB1E，故只要B1EAF即可，(1,0，t)，(k1,0,1)，1kt0，kt1，即CEDF1.10.( 2012天津调研)如
5、图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1.(1)求证：平面PAC平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由解析 (1)证明：PA平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为PBA45.AB1，由ABCBAD90，易得CDAC，ACCD.又PACD，PAACA，CD平面PAC，又CD平面PCD，平面PAC平面PCD.(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)
6、，则(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0(0,2,0)是平面PAB的法向量，又(1，y1，z)，CE平面PAB.(1，y1，z)(0,2,0)0，y1.将y1代入，得z.E是PD的中点，存在E点使CE平面PAB，此时E为PD的中点.能力拓展提升11.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45 C60 D120答案C解析由条件知，0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，11696cos，(2)2，cos，120，所以二面角的大小为60.12在
7、棱长为1的正方体AC1中，O1为B1D1的中点求证：(1)B1D平面ACD1；(2)BO1平面ACD1.证明建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为1，则B(1,0,0)，O1(，1)，D1(0,1,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，B1(1,0,1)，(1,1，1)，(0,1,1)，(1,1,0)，(，1)(1)0，0，与不共线，平面ACD1，B1D平面ACD1.(2)0，平面ACD1.又BO1平面ACD1，BO1平面ACD1.点评第(2)问还可以通过证明(其中O为AC中点)证明13在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB
8、的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论解析(1)证明：PD底面ABCD，四边形ABCD是正方形，AD、DC、PD两两垂直，如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，0)、P(0,0，a)、F(，).(，0，)，(0，a,0)0，即EFCD.(2)设G(x,0，z)，则(x，z)，若使GF平面PCB，则由(x，z)(a,0,0)a(x)0，得x；由(x，z)(0，a，a)a(z)0，得z0.G点坐标为(，0,0)，即G点为
9、AD的中点14(2011海口调研)在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，E是AD的中点，F是PC的中点(1)求证：BE平面PAD；(2)求证：EF平面PAB；(3)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值解析解法一： (1)E是AD中点，连接PE，AB2，AE1.BE2AB2AE22ABAEcosBAD41221cos603.AE2BE2134AB2，BEAE.又平面PAD平面ABCD，交线为AD，BE平面PAD.(2)取PB中点为H，连接FH，AH，AE綊BC，又HF是PBC的中位线，HF綊BC，AE綊HF，四边形AHFE是平
10、行四边形，EFAH，又EF平面PAB，AH平面PAB，EF平面PAB.(3)由(1)知，BCBE，PEBC，又PE，BE是平面PBE内两相交直线，BC平面PBE，又由(2)知，HFBC，HF平面PBE，FEH是直线EF与平面PBE所成的角，易知BEPE，在RtPEB中，EH，tanFEH，cosFEH.故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为.解法二：容易证明EP，EA，EB两两垂直，建立空间直角坐标系Exyz如图易求BEPE，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，C(2，0)，D(1,0,0)，P(0,0，)，因为F是PC的中点，则F(1，)(1)010000，即EBEA，000
11、00，即EBEP，EA，EP是平面PAD内的两相交直线，EB平面PAD.(2)取PB中点为H，连接FH，AH，则H(0，)，(1，)，(0，)(1,0,0)(1，)，又EF平面PAB，AH平面PAB，EF平面PAB.(3)y轴平面PBE，z轴平面PBE，平面PBE的法向量为n(1,0,0)，(1，)，设直线EF与平面PBE所成角为，sin，cos，故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为.15(2012辽宁理，18)如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABACAA，点M、N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)若二面角AMNC为直二面角，求的值解析(1)连结AB，AC，由
12、已知BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB中点又因为N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.(2)以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系Oxyz，如图所示设AA1，则ABBC，于是A(0,0,0)，B(，0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，B(，0,1)，C(0，1)，所以M(，0，)，N(，1)设m(x1，y1，z1)是平面AMN的法向量，由得可取m(1，1，)设n(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量由得可取n(3，1，)因为AMNC为直二面角，所以mn0.即3(1)(1
13、)20，解得.1在正三棱柱ABCA1B1C1中，H、F分别为AB、CC1的中点，各棱长都是4.(1)求证CH平面FA1B.(2)求证平面ABB1A1平面FA1B.(3)设E为BB1上一点，试确定E的位置，使HEBC1.解析在正三棱柱中，H为AB中点，CHAB，过H作HMAB交A1B1于M，分别以直线AB、HC、HM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0，2，0)，F(0,2，2)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，C1(0，2，4)(1)(0,2，0)，(2，2，2)，(2，2，2)，()，与不共线，平面FA1B，HC平面FA1B，HC平面FA1B.(2)平面AB
14、B1A1的一个法向量为n1(0,2，0)，设平面FA1B的一个法向量n(x，y，z)，则令x1得n(1,0,1)，nn10，nn1，平面ABB1A1平面FA1B.(3)E在BB1上，设E(2,0，t)，(t0)，则(2,0，t)，(2,2，4)，HEBC1，44t0，t1，E是BB1上靠近B点的四等分点(或BEBB1)2如图，已知矩形ABCD，PA平面ABCD，M、N、R分别是AB、PC、CD的中点求证：(1)直线AR平面PMC；(2)直线MN直线AB.解析证法1：(1)连接CM，四边形ABCD为矩形，CRRD，BMMA，CMAR，又AR平面PMC，AR平面PMC.(2)连接MR、NR，在矩形
15、ABCD中，ABAD，PA平面AC，PAAB，AB平面PAD，MRAD，NRPD，平面PDA平面NRM，AB平面NRM，则ABMN.证法2：(1)以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ABa，ADb，APc，则B(a,0,0)，D(0，b,0)，P(0,0，c)，C(a，b,0)，M、N、P分别为AB、PC、CD的中点，M(，0,0)，N(，)，R(，b,0)，(，b,0)，(，0，c)，(，b,0)，设，ARMC，AR平面PMC，AR平面PMC.(2)(0，)，(a,0,0)，0，MNAB.3(2012天津理，17)如图，在四棱锥PABCD中，PA平
16、面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长分析因为ACAD，PA平面ABCD，故以A为原点建立空间直角坐标系，写出A、B、C、D、P的坐标(1)运用0证明PCAD；(2)先求两平面APC与平面DPC的法向量夹角的余弦值，再用平方关系求正弦值；(3)将异面直线所成的角通过平移转化成向量与的夹角，利用向量夹角公式列等式解析如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B(，0)，P(0,0,2)(1)证明：易得(0,1，2)，(2,0,0)，于是0，所以PCAD.(2)(0,1，2)，(2，1,0)设平面PCD的法向量n(x，y，z)，则即不妨令z1，可得n(1,2,1)可取平面PAC的法向量m(1,0,0)于是cosm，n，从而sinm，n.所以二面角APCD的正弦值为.(3)设点E的坐标为(0,0，h)，其中h0,2由此得(，h)，由于(2，1,0)，故cos，所以，cos30，解得h，即AE.