1、6.3球的表面积和体积课后篇巩固提升基础达标练1.如图,各棱长都相等的三棱锥内接于一个球,则经过球心的一个截面图形可能是()A.B.C.D.答案A2.已知正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,则该棱柱外接球的表面积为()A.21B.42C.84D.84解析如图,M,N为上下底面正三角形的中心,O为MN的中点,即外接球球心.因为正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,AM=2362-32=23,OM=3,球半径R=OA=(23)2+32=21,该棱柱外接球的表面积为S=4(21)2=84.答案C3.两个球的半径相差1,表面积之差为28,则它们的体积和为.解析设大球与小球半径分别为R
2、,r,则R-r=1,4R2-4r2=28,所以R=4,r=3.所以体积和为43R3+43r3=3643.答案36434.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为92,则正方体的棱长为.解析设球的半径为R,正方体棱长为a,则V球=43R3=92,得到R=32,正方体体对角线的长为3a=2R,则a=3,所以正方体的棱长为3.答案35.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.解该组合体的表面积S=4r2+2rl=412+213=10.该组合体的体积V=43r3+r2l=4313+123=133.能力提升练1.一个正四
3、棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上,如果正四棱柱的底面边长为2 cm,那么该棱柱的表面积为()A.2+42(cm2)B.8+162(cm2)C.4+82(cm2)D.16+322(cm2)解析设正四棱柱的高为h,则由题意及球的性质可得,22+22+h2=2R=4,所以h=22(cm),所以该棱柱的表面积为222+4222=8+162(cm2),故选B.答案B2.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,如图所示.则球的半径是()A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm解析设球半径为r,则由3V球+V水=V柱
4、,可得343r3+r26=r26r,解得r=3.答案C3.(2019浙江温州期末)如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,则圆柱的体积与球的体积之比为,圆柱的表面积与球的表面积之比为.解析由题意,圆柱底面半径r=球的半径R,圆柱的高h=2R,则V球=43R3,V柱=r2h=R22R=2R3,所以V柱V球=2R343R3=32.S球=4R2,S柱=2r2+2rh=2R2+2R2R=6R2.所以S柱S球=6R24R2=32.答案32324.(2020黑龙江齐齐哈尔模拟)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为4 cm,该纸片上的正方形
5、ABCD的中心为O.E,F,G,H为圆O上的点,ABE,BCF,CDG,ADH分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA为折痕,折起ABE,BCF,CDG,ADH,使得E,F,G,H重合,得到一个四棱锥.当AB=2 cm时,该四棱锥的表面积为;该四棱锥的外接球的表面积为.解析连接OE交AB于点I,设E,F,G,H重合于点P,正方形的边长为2,则OI=1,IE=3,AE=10,设该四棱锥的外接球的球心为Q,半径为R,则OC=2,OP=10-2=22,则R2=(22-R)2+(2)2,解得R=522,外接球的表面积S=45222=252cm2,该四棱锥的表面积为41223+22=16cm2.答案16 cm2252 cm2素养培优练有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.解设正方体棱长为a,三个球的半径依次为R1,R2,R3,则有2R1=a,R1=a2,2a=2R2,R2=22a,3a=2R3,R3=32a,所以R1R2R3=123.所以S1S2S3=R12R22R32=123.即这三个球的表面积之比为123.