1、第6节二次函数与幂函数最新考纲核心素养考情聚焦1.通过具体实例，结合yx，yx2，yx3，y，y的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数2.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质3.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1.幂函数的图象与性质，发展数学抽象和直观想象素养2.二次函数的最值问题，达成直观想象和逻辑推理素养3.二次函数零点的分布问题，提升直观想象和逻辑推理素养幂函数、二次函数的图象与性质是高考考查的热点内容，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查数形结合思想，这种思想方法常融合在函数的最值、函数零点的分布问题之中主要以选择题或填空题的形式出现，属于低中档题，在解
2、答题中常与导数的应用综合，属于中高档题1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域(，)(，)值域单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减对称性函数的图象关于x对称一元二次不等式
3、恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)函数y2x是幂函数()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(3)当n0)，xm，n的最小值一定是.()(5)关于x的不等式ax2bxc0恒成立的充要条件是()答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1(2019济南市诊断)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k( )A.B1C.D2解析：C由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.2下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(
4、)解析：B图象对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图象中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.3函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是( )Am2 Bm2Cm1 Dm1解析：A函数f(x)x2mx1的图象的对称轴为x，且只有一条对称轴，所以1，即m2.4二次函数的图象与x轴只有一个公共点，对称轴为x3，与y轴交于点(0,3)则它的解析式为_答案：yx22x35若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，则实数m的值为_解析：由，解得m1或2.经检验m1或2都适合答案：1或2考点一幂函数的图象与性质(自主练透)题组集训1幂函数yf(x)的图象过点(4
5、,2)，则幂函数yf(x)的图象是( )解析：B由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1适合题意，故选B.答案：(，1)1幂函数的解析式：yx(R)，其中只有参数，因此只需一个条件即可确定其解析式2幂函数的图象特征：在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴曲线在第一象限的凹凸性：1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，曲线下凸3幂函数的性质：(1)若为偶数，则幂函数yx(R)是偶函数；若为奇数，则幂函数yx(R)是奇函数反之，不成立当是分数时，一般将其先化为根式，再判断奇偶性(2
6、)若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0；若在(0，)上单调递减，则0.4幂值大小的比较：结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较考点二二次函数的图象与性质(多维探究)命题角度1二次函数的图象1设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是( )解析：D由A，C，D知，f(0)c0，所以ab0，知A，C错误，D满足要求；由B项知f(0)c0，所以ab0，所以xBaCa0 Da0解析：D当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0.综合上述得a0.命
7、题角度3二次函数的最值逻辑推理分类讨论思想在二次函数问题中的应用二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值，建立方程求解参数3已知f(x)4x24ax4aa2在0,1内的最大值为5，则a的值为( )A. B1或C1或 D5或解析：Df(x)424a，对称轴为x，当1，即a2时，f(x)在0,1上递增，ymaxf(1)4a2，令4a25，得a1(舍去)当01，即0a2时，ymaxf4a，令4a5，得a.当0，即a0时，f(x)在0,
8、1上递减，ymaxf(0)4aa2，令4aa25，得a5或a1(舍去)综上所述，a或5.故选D.二次函数求最值问题，一般先用配方法化为ya(xm)2n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程xm，结合二次函数的图象求解常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调性，从而确定函数的最值命题角度4二次函数中恒成立问题4设函数f(x)ax22x2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，则实数a的取值范围为_解析
9、：由f(x)0，即ax22x20，x(1,4)，得a在(1,4)上恒成立令g(x)22，所以g(x)maxg(2)，所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要a即可答案：由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数求解；二是构造函数，数形结合求解.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.1(2019呼和浩特市一模)已知点在幂函数f(x)(a1)xb的图象上，则函数f(x)是( )A定义域内的减函数B奇函数C偶函数 D定义域内的增函
10、数解析：B点在幂函数f(x)(a1)xb的图象上，a11，解得a2，2b，解得b3，f(x)x3，函数f(x)是定义域上的奇函数，且在(，0)，(0，)上是减函数2(2019唐山市一模)已知a3，b2，cln 3，则( )Aacb BabcCbca Dbac解析：Da3，b24，又yx在(0，)上单调递减ba1，又cln 31，则bac，故选D.3幂函数yxm24m(mZ)的图象如图所示，则m的值为()A0B1C2D3解析：Cyxm24m (mZ)的图象与坐标轴没有交点，m24m0，即0m0时，函数f(x)在对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a0时，函数f(x)的图象的对称轴为x，函数f(x)
11、在区间1，)上单调递减，1，得3a0.综上可知，实数a的取值范围是3,05(2019黔东南州一模)二次函数yx24x(x2)与指数函数yx的交点个数有( )A3个 B2个 C1个 D0个解析：C因为二次函数yx24x(x2)24(x2)，且x1时，yx24x3，yx2，则在坐标系中画出yx24x(x2)与yx的图象：由图可得，两个函数图象的交点个数是1个6若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于_解析：函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得，f(0)a，f(2)43a，或解得a1.答案：17已知幂函数yxm22m3(mN*)的图象与
12、x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m_.解析：由题意知m22m3为奇数且m22m30，由m22m30得1m3，又mN*，故m1,2.当m1时，m22m31234(舍去)当m2时，m22m3222233，m2.答案：28(2019潍坊市一模)已知二次函数f(x)ax22xc的值域为0，)，则的最小值为_解析：由二次函数f(x)ax22xc的值域为0，)，可得判别式44ac0，即有ac1，且a0，c0，所以2236，当且仅当，即有c，a3，取得最小值6.答案：69已知幂函数f(x)(m25m7)xm1为偶函数(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)ax3在1,3上不是单调函数，求实数a的
13、取值范围解：(1)由题意m25m71，解得m2或m3，若m2，与f(x)是偶函数矛盾，舍去，所以m3，所以f(x)x2.(2)g(x)f(x)ax3x2ax3，g(x)的对称轴是x，若g(x)在1,3上不是单调函数，则13，解得2axk在区间3，1上恒成立，试求k的范围解：(1)由题意知解得所以f(x)x22x1，由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1(2)由题意知，x22x1xk在区间3，1上恒成立，即kx2x1在区间3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1，由g(x)2知g(x)在区间3，1上是减函数，则g(x)ming(1)1，所以k1，即k的取值范围是(，1)
