1、第4节一元二次不等式及其解法最新考纲核心素养考情聚焦1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系1.一元二次不等式的解法，达成直观想象和数学运算素养2.与一元二次不等式有关的恒成立问题，提升直观想象和数学运算素养3.一元二次不等式的实际应用，增强数学建模和数学运算素养一元二次不等式、分式不等式的解法，及一元二次不等式的恒成立问题是高考的热点，常常与集合运算、函数定义域求解、用导数求单调区间等问题结合考查题型多样，选择题或
2、填空题考查解法及恒成立问题，难度不大，属于低中档题，解答题与导数结合，考查函数的单调性，难度中等及以上，属于中高档题1一元二次不等式的图象解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)(2)计算相应的判别式(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集2一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)
3、的解集x|xx1，或xx2Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系1.0等价于(xa)(xb)0.2.0等价于(xa)(xb)0.3.0等价于4.0等价于思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.( )(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.( )(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.
4、( )(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1函数f(x)的定义域是( )A(，1)(3，)B(1,3)C(，2)(2，) D(1,2)(2,3)解析：D由题意知即故函数f(x)的定义域为(1,2)(2,3)2不等式0的解集是( )A(，1)(1,2 B1,2C(，1)2，) D(1,2解析：D0(x1)(x2)0，且x1，即x(1,2，故选D.3若不等式ax2bx20对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为_解析：由题意，知441(k21)2，k或k.答案：(，)(，)考点一一元二次不等式的解法
5、(自主练透)题组集训解关于x的不等式：(1)x23x40；(2)3x22x80；(3)ax2(a1)x10.解：(1)由91670，故不等式的解集为.(2)原不等式等价于3x22x80(x2)(3x4)0x2或x，故不等式的解集为.(3)原不等式可化为(x1)(ax1)1，当a0时，不等式可化为(x1)0，当a1时，不等式可化为(x1)20，解集为；当0a1，不等式的解集为；当a1时，1，不等式的解集为；当a0，不等式的解集为综上，可知，当a1；当0a1时，不等式的解集为.1解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式(2)判：计算对应方程的判别式(3)求：求出
6、对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式提醒： 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况考点二与一元二次不等式有关的恒成立问题(多维探究)直观想象一元二次不等式恒成立问题中的核心素养直观想象是指借助几何直观
7、和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程解决一元二次不等式的恒成立问题，常常将一元二次不等式与一元二次方程、二次函数联系在一起，做到相互转化，借助于二次函数的图象抛物线进行求解命题角度1在实数R上的恒成立1若一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )A(3,0B3,0)C3,0 D(3,0)解析：D2kx2kx0对一切实数x都成立，因2kx2kx0是一元二次不等式所以k0.则必有解得3k0.命题角度2在给定区间上的恒成立问题2设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1,3，f(x)m5恒成立，则m的取值范围是_. 破题关键点函数f(x)m
8、5在1,3上恒成立，即m2m60在x1,3上恒成立方法一：构造函数g(x)m2m6，x1,3，分m0与m0两种情况判断g(x) 在1,3上单调性，由g(x)max0求出m的取值范围；方法二：由于x2x120，所以将参数m分离出来，即m，转化为求函数y在1,3上的最小值解析：要使f(x)m5在1,3上恒成立，则mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立有以下两种方法：法一：令g(x)m2m6，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，则0m.当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，所以m0.综上所述，
9、m的取值范围是.法二：因为x2x120，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是.答案：命题角度3给定参数范围的恒成立问题3已知a1,1时不等式x2(a4)x42a0恒成立，则x的取值范围为( )A(，2)(3，)B(，1)(2，)C(，1)(3，)D(1,3)解析：C把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)ax24x4，则由f(a)0对于任意的a1,1恒成立，所以f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，解不等式组得x1或x3.恒成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元
10、二次方程，利用判别式来求解(2)一元二次不等式在xa，b上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围(3)一元二次不等式对于参数ma，b恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数考点三一元二次不等式的实际应用(师生共研)典例某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x (0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知
11、年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？思维导引(1)由年利润(出厂价投入成本)年销售量，建立年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)由本年度的年利润比上年度有所增加，建立关于投入成本增加的比例x的不等式组求x的取值范围解析(1)由题意得y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x) (0x1)，整理得y6 000x22 000 x20 000(0x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0x，所以投入成本增加的比例应在范
12、围内求解不等式应用题的四个步骤跟踪训练某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围解：(1)降低税率后的税率为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%)万元依题意得y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10)(2)原计划税收为200a10
13、%20a(万元)依题意得a(1002x)(10x)20a83.2%，化简得x240x840，解得42x2.又0x10，0x2.1不等式x2的解集是()A(，0(2,4B0,2)4，)C2,4) D(，2(4，)解析：B原不等式可化为0.即由标根法知，0x2或x4.2已知函数f(x)ax2bxc，不等式f(x)0的解集为x|x1，则函数yf(x)的图象可以为()解析：B由f(x)0的解集为x|x1知a0，yf(x)的图象与x轴交点为(3,0)，(1,0)，f(x)图象开口向下，与x轴交点为(3,0)，(1,0)3“0a0的解集是实数集R”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不
14、充分也不必要条件解析：A当a0时，10，显然成立；当a0时，故ax22ax10的解集是实数集R等价于0a1.因此，“0a0的解集是实数集R”的充分而不必要条件4(2019海拉尔区模拟)关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是( )A(4,5) B(3，2)(4,5)C(4,5 D3，2)(4,5解析：D关于x的不等式x2(a1)xa0，不等式化为(x1)(xa)0，当a1时，得1xa，此时解集中的整数为2,3,4，则4a5，当a1时，得ax1，此时解集中的整数为2，1,0，则3a2，故a的取值范围是3，2)(4,55若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是
15、( )A(，4 B4，)C4,20 D40,20)解析：B由x22x30，得1x3.设f(x)x24x(1a)，根据已知可转化为存在x01,3使f(x0)0.易知函数f(x)在区间1,3上为增函数，故只需f(1)4a0即可，解得a4.6(2019四平模拟)已知不等式ax25xb0的解集为x|3x2，则不等式bx25xa0的解集为_解析：ax25xb0的解集为x|3x2，ax25xb0的根为3、2，即32，32.解得a5，b30.则不等式bx25xa0可化为30x25x50，解得.答案：7若关于x的不等式4x2x1a0在1,2上恒成立，则实数a的取值范围为_解析：4x2x1a0在1,2上恒成立，
16、4x2x1a在1,2上恒成立令y4x2x1(2x)222x11(2x1)21.1x2，22x4.由二次函数的性质可知：当2x2，即x1时，y有最小值0.a的取值范围为(，0答案：(，08若不等式x2(2m)xm10对任意m1,1恒成立，则x的取值范围是_解析：把不等式化为(1x)mx22x10.设f(m)(1x)mx22x1，则问题转化为关于m的一次函数f(m)在区间1,1上大于0恒成立，只需即解得x3，故x的取值范围是(，1)(3，)答案：(，1)(3，)9解关于x的不等式ax222xax(aR)解：原不等式可化为ax2(a2)x20(ax2)(x1)0.当a0时，原不等式化为x10x1.当
17、a0时，原不等式化为(x1)0x或x1.当a1，即a2时，原不等式等价于1x；当1，即a2时，原不等式等价于x1；当2，原不等式等价于x1.综上所述，当a2时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为1；当2a0时，原不等式的解集为(，1.10已知函数f(x)的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2xa2a0.解：(1)函数f(x)的定义域为R，ax22ax10恒成立，当a0时，10恒成立当a0时，则有解得0a1，综上可知，a的取值范围是0,1(2)f(x)，a0，当x1时，f(x)min，由题意得，a，不等式x2xa2a0可化为x2x0.解得x，所以不等式的解集为.