1、高中数学正切函数的图像与性质教学设计增城市第一中学 朱荣雄一、教学内容分析：三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数又是三角函数这个小分支中的一个内容节点。让学生能清晰地认识到所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质定义域、值域、对称性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。正切函数除了一般函数的研究内容外，还要针对其图象的特点，特别地要研究其渐近线。在此也向学生进一步说明华罗庚教授的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会到：数学的美无处不在，数学无处不美。二、学情分析：本节课内容是普通高中课程标准实验教科
2、书（人教A版）数学必修四第一章三角函数第1.4.3节正切函数的图像与性质。本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质之后，又一具体的三角函数。教材首先根据单位圆得到正切函数的定义，给出正切线的概念，并类比画正弦函数图象的方式，利用正切线画正切函数 的图象，根据图象，研究正切函数的性质。体现了类比思想的应用，体现出数形结合思想在研究函数性质中的重要作用。学生已经掌握了正弦函数图像的画法和利用正弦函数的图象研究函数性质的方法，这为本节课的学习提供了知识的保障，这是有利的因素；但不足之处在于学生不能独立地运用数形结合的思想来研究正切函数的相关问题。三、教学目标：1. 知识与技能目标： 在对正切函数已有
3、认知的基础上，分析正切函数的性质。 通过已知的性质，利用正切线画出正切函数在上的图像，得到正切曲线。 根据正切曲线，完善正切函数的性质。2. 过程与方法目标：在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的自主探索的学习习惯和学习能力，养成良好的数学学习习惯。3. 情感态度价值观目标： 在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成。四、教学重点和难点：教学重点：正切函数的图象与性质。教学难点：在单位圆中利用正切线画正切函数的图象。五、学法分析：类比学
4、习法：即类比正弦函数图象的画法，作出正切函数的图象；并利用其图象，来研究正切函数的性质。六、教法分析：新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生。以此为宗旨，我采用引导教学法，引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合。结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识。七、教学过程：本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数。学生已经掌握了角的正切定义，正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障。在此基础上，进一步研究其性质、体会研究函数方法的课，也是为解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好
5、知识储备的课为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用超级画板自制课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。教学过程及学生活动设计说明复习旧知识提问1：首先我们回忆角的正切是如何定义的？ 角的正切：提问2：角是任意的吗 ? 引出正切函数的定义域。提问3：由，让学生分析量与量之间的关系正切函数的定义：，定义域：让学生体会角的正切定义与正切函数之间的关系，为后续课程做铺垫。 正切函数的性质提问4：类比我们已经学习过的正弦函数、余弦函数的图像与性质，我们可以从哪些方面来研究正切函数的性质？正弦、余弦函数都有哪些方面的性质呢？【学生回答其
6、性质，教师一一板书。】提问5：我们对正切函数也已经有了初步的了解，譬如：正切线，与正切有关的诱导公式等，就已有的知识，下面请同学具体说明正切函数的性质？ 1定义域：2周期性：最小正周期是；3奇偶性：奇函数；4单调性：在整个定义域上既不是增函数也不是减函数，但在开区间内，函数单调递增5值域： R 【利用超级画板演示正切线的变化，让学生直观感受】 利用已有的认知结构，探究未知的问题。类比，是研究问题最重要的方法之一。善于举反例，不要忽视反例在数学中的作用。数学结合、利于消化和吸收！正切函数的图像提问6：我们已知正切函数的部分性质，如何利用已有的性质画出正切函数的图像？由于正切函数是最小正周期为的周
7、期函数，所以我们只需要画出它在一个周期内的图像，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图像。选择哪一个长度为的区间呢？可以选择区间；而正切函数又是奇函数，所以只需画出在的图像。0yx的图象，称“正切曲线”。利用已知的性质，如何画函数的图像？体会函数的性质与图像之间的关系。观察图像，丰富性质【值域】当且时， ；当且时，。【单调性】对每一个，在开区间内，函数单调递增。正切函数的图像是被相互平行的直线所隔开的，无穷多支、形状完全相同的曲线组成的。形与数 的结合，更能抓住问题 的本质。形与数对比正切函数的性质和图像，分析各个性质在图像上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图像，函数的图像是其性质的直
8、观反应。 例题解析例题：求函数的定义域、周期和单调区间。课堂小结正切函数的图象及性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）。课外作业求函数的定义域、值域、单调区间，并指出它的周期性、奇偶性。八、板书设计： 课题：1.4.3正切函数的图象与性质一、正切函数的图象：二、正切函数的性质： 定义域： 周期性： 奇偶性： 单调性： 值 域：三、例题讲解：四、课堂小结：五、课外作业：九、教学反思： 课堂教学必须“从无效到有效，从有效到高效”。如何能做到高效的课堂，是我一直思考的问题。1. 中学数学课堂承载的使命： 数学知识是静态的，而数学思维则是动态的。数学思维与数学知识犹如人体的血肉关系：血液之荣枯外
9、现于形体之盛衰。所以数学教学理应是数学思维活动的教学，其中揭示数学思维过程是数学教学最基本（最高）的指导原则。在本节课中，我时刻通过设置“矛盾冲突”撞击学生的思维，比如：在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正、余弦函数的图像和性质的方法；又如，在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺数难入微”的精妙。总之，教师时刻以培养学生的思维为出发点的教学，才是真正的数学教学，才能承载中学数学课堂的使命培养学生的数学思维和数学素养。2. 站在系统的高度组织教学：任何系统都是一个
10、有机的整体，它不是各个部分的机械组合或简单相加，系统论的核心思想是系统的整体观念。数学知识更是一个有机整体。我习惯于运用系统的观点对所教内容进行整合，以优化其结构，系统其知识、能力与方法。其实，数学本身就是一个系统，在这个系统中，数学知识是“肉体”，数学思想和方法是“神经系统”，数学思维则是“灵魂”。三角函数是函数系统中的一个小分支，正切函数是三角函数这个小分支中的一个节点。正切函数的图像和性质是“肉体”，类比和数形结合是“神经系统”，如何利用已知研究未知，则是“灵魂”。首先，类比研究正（余）弦函数的思路，提出问题，让学生能清晰地认识本节课的内容：在内容上，是研究一个具体函数的性质定义域、值域
11、、对称性、周期性、单调性；在思想方法上，数形结合应是对其性质研究的主要途径. 其次，在已有性质的基础上，如何能让正切函数的性质更加“丰满”呢？学生自然能想到借助图像，那么如何能得到图像呢？引导学生，让其找到画函数图像的方法。我觉得，教师从系统论的高度把握高中数学教学，目的是使课堂教学更加有效，甚至高效。3. 站在学生的角度组织教学：教师如果上课只是告诉学生数学结论或机械的方法，不但违背中学数学课堂教学所承载的使命，而且还不能培养学生的思维。下面以“课堂提问”为例，谈谈本节课如何站在学生的角度组织教学，如何有效搭建已知到未知（知识的生成过程）的桥梁。（1）提问的层次性： 课程两端提问整体（宏观）
12、在本节课一开始，我提出问题：我们如何研究正切函数的性质，从哪些方面进行研究。这一提问能让学生明白我们这节课的主题，学生就会一直围绕这一问题进行思考，思维一直处在自我否定、自我完善的过程当中。中间部分提问局部（微观，不失系统）在研究函数的具体性质时，提出的问题就相对微观。譬如奇偶性、周期性可以从已知的诱导公式得到，值域可以从正切线看出等等，但这些都是在建构已知到未知的知识体系。（2）提问的针对性： 提问力争做到有的放矢，紧紧围绕重点，针对难点，扣住疑点，体现强烈的目标意识和明确的思维方向。比如在如何画出正切函数的图像这一问题上，我一直在引导学生可以从已有的性质入手，由周期性知：只需画出一个周期内
13、的图像，再由奇偶性知：只需画出半个周期内的图像.（3）提问的适时性： 当课堂出现教学冲突，学生对问题的认识出现分歧时，提问能让冲突更加显现，更能揭示问题的本质。比如，得到正切函数的图像之后，学生会觉得这节课应该到此结束了。这是我提出：我们先前得到的性质还可以再完美些吗？学生这时会恍然大悟，很自然地想到可以从单调性、对称性、渐近线等方面，“丰满”正切函数的性质。 数学课堂教学就是通过一系列有一定梯度、有一定内在联系的问题链，由浅入深地引导学生思考，撞击学生的思维，直至揭示问题的本质过程。最后，我想说的是，“课堂教学是一门遗憾的艺术”。本节课还有很多的不足，还有很多做得不到位的地方，譬如：如何能够
14、更加有效地利用信息技术等。通过以上一些思考，尽管不到位，但思之则活，思活则深，思深则透。我会不断地反思自己的教学行为，总结教学的得失、成败，对每个教学过程进行回顾、分析和审视，逐渐形成自我反思的意识和自我监控的能力，不断丰富自我素养，提升自我发展之能力，逐步完善教学之艺术。十、学习效果设计与实践：1效果设计：本节课的内容是正切函数的图像与性质。若按照教材直接利用正切线画出正切函数的图像，然后研究其性质，我觉得不能使知识成为一个系统，缺乏已有知识和未知知识的联系，不利于培养学生的能力。知识的形成，是一个循序渐进的过程，不能一蹴而就。因此设计课程时，是在学生对正切函数已有的认知基础上，得到其一部分性质；但是并不完善，为了完善函数的性质，想到通过函数的图像，直观地得到函数的性质。2课堂实践：在课堂教学中，学生在学习了正、余弦函数的基础上，能够按照事先设计的思路逐步研究正切函数的性质。特别是在如何利用正切函数已有的性质基础上，画出其图像？需要画出哪个区间上的图像？讨论非常之热烈，体现了学生在课堂中的主体地位。另外，在得到函数的图像之后，在函数的性质是如何在图像上反映出来的这一问题时，理解得也很透彻，分析得也十分到位。