1、课后限时集训(十九)利用导数解决函数的单调性问题建议用时：40分钟一、选择题1(2020南阳模拟)已知函数f(x)x25x2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是()A.和(1，)B(0,1)和(2，)C.和(2，)D(1,2)C函数f(x)x25x2ln x的定义域是(0，)f(x)2x5，令f(x)0，解得0x或x2，故函数f(x)的单调递增区间是和(2，)2若函数f(x)2x33mx26x在区间(1，)上为增函数，则实数m的取值范围是()A(，1B(，1)C(，2D(，2)Cf(x)6x26mx6，由已知条件知x(1，)时，f(x)0恒成立设g(x)6x26mx6，则g(x)0在(1，
2、)上恒成立即mx在(1，)上恒成立，设h(x)x，则h(x)在(1，)上是增函数，h(x)2，从而m2，故选C.3函数f(x)x2xsin x的图象大致为()ABCDA函数f(x)的定义域为R，且f(x)(x)2(x)sin(x)x2xsin xf(x)，则函数f(x)为偶函数，排除B.又f(x)2xsin xxcos x(xsin x)x(1cos x)，当x0时，xsin x0，x(1cos x)0，f(x)0，即函数f(x)在(0，)上是增函数，故选A.4设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A(1,2B(4，)C(，2)D(0,3A因为f(x)
3、x29ln x，所以f(x)x(x0)，由x0，得0x3，所以f(x)在(0,3上是减函数，则a1，a1(0,3，所以a10且a13，解得1a2.5设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axb时，有()Af(x)g(x)f(b)g(b)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x)Df(x)g(x)f(a)g(a)C令F(x)，则F(x)0，所以F(x)在R上单调递减又axb，所以.又f(x)0，g(x)0，所以f(x)g(b)f(b)g(x)6(多选)(2020济南市期中)已知函数f(x)xln x，若0x1x2
4、，则下列结论正确的是()Ax2f(x1)x1f(x2)Bx1f(x1)x2f(x2)C0D当x2x1时，x1f(x1)x2f(x2)2x2f(x1)AD设g(x)ln x，易知函数g(x)单调递增，则g(x2)g(x1)，即，x1f(x2)x2f(x1)，A正确；设h(x)f(x)x，h(x)ln x2，易得当x时，h(x)0，当x时，h(x)0，即h(x)在(0，)上不单调，h(x1)与h(x2)的大小关系不确定，B错误；f(x)xln x，f(x)ln x1，易得f(x)在(0，)上不单调，f(x1)与f(x2)的大小关系不确定，C错误；当x时，f(x)ln x10，函数f(x)单调递增，
5、故(x2x1)f(x2)f(x1)x1f(x1)x2f(x2)x2f(x1)x1f(x2)0，即x1f(x1)x2f(x2)x2f(x1)x1f(x2)，又x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)x2f(x2)2x2f(x1)，D正确二、填空题7若函数f(x)ax33x2x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是_(3,0)(0，)由题意知f(x)3ax26x1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f(x)有两个不相等的零点，所以3ax26x10需满足a0，且3612a0，解得a3且a0，所以实数a的取值范围是(3,0)(0，)8若函数f(x)ln xax22x存在单调递减区间，则实数a的
6、取值范围是_(1，)f(x)ax2，由题意知f(x)0有实数解，x0，ax22x10有实数解当a0时，显然满足；当a0时，只需44a0，1a0.综上知a1.9(2020海淀区模拟)定义在(0，)上的函数f(x)满足x2f(x)10，f(1)4，则不等式f(x)3的解集为_(1，)由x2f(x)10得f(x)0，构造函数g(x)f(x)3，则g(x)f(x)0，即g(x)在(0，)上是增函数又f(1)4，则g(1)f(1)130，从而g(x)0的解集为(1，)，即f(x)3的解集为(1，)三、解答题10已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x
7、轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)由题意得f(x)，又因为f(1)0，故k1.(2)由(1)知，f(x)，设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0x1时，h(x)0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)11已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在(1,1)上为单调减函数，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)的单调递减区间为(1,1)，求实数a的值；(4)若函数f(x)在
8、区间(1,1)上不单调，求实数a的取值范围解(1)因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即实数a的取值范围为(，0(2)由题意知f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，所以a3x2在(1,1)上恒成立，因为当1x1时，3x23，所以a3，所以a的取值范围为3，)(3)由题意知f(x)3x2a，则f(x)的单调递减区间为，又f(x)的单调递减区间为(1,1)，所以1，解得a3.(4)由题意知：f(x)3x2a，当a0时，f(x)0，此时f(x
9、)在(，)上为增函数，不合题意，故a0.令f(x)0，解得x.因为f(x)在区间(1,1)上不单调，所以f(x)0在(1,1)上有解，需01，得0a3，所以实数a的取值范围为(0,3)1(多选)(2021全国统一考试模拟演练)已知函数f(x)xln(1x)，则()Af(x)在(0，)单调递增Bf(x)有两个零点C曲线yf(x)在点处切线的斜率为1ln 2Df(x)是偶函数ACf(x)xln(x1)，所以x0时，f(x)ln(x1)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，所以A选项正确；xln(x1)0，所以x0或ln(x1)0，所以x0，故f(x)只有1个零点0，所以B不正确；f(x)ln(x1
10、)，所以fln11ln 2，故C正确；定义域不关于原点对称，所以f(x)不是偶函数所以D不正确故选AC.2(2020西安模拟)已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则实数t的取值范围是_(0,1)(2,3)f(x)x4，令f(x)0得x1或x3，由题意知t1t1或t3t1，解得0t1或2t3，故t的取值范围是(0,1)(2,3)3设函数f(x)aln x，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性解(1)由题意知a0时，f(x)，x(0，)此时f(x)，可得f(1).又f(1)0，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处
11、的切线方程为x2y10.(2)函数f(x)的定义域为(0，)f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上递减当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2.由x10，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)递减；x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)递增；x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)递减综上可得：当a0
12、时，函数f(x)在(0，)上递增；当a时，函数f(x)在(0，)上递减；当a0时，f(x)在，上递减，在上递增1(多选)(2020山东章丘期中)定义在(0，)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且(x1)f(x)f(x)x22x对任意x(0，)恒成立下列结论正确的是()A2f(2)3f(1)5B若f(1)2，x1，则f(x)x2xCf(3)2f(1)7D若f(1)2,0x1，则f(x)x2xCD设函数g(x)，则g(x).因为(x1)f(x)f(x)x22x对任意x(0，)恒成立，所以g(x)0，故g(x)在(0，)上单调递减，从而g(1)g(2)g(3)，整理得2f(2)3f(1)5，f(3
13、)2f(1)7，故A错误，C正确当0x1时，若f(1)2，因为g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)g(1)，即，即f(x)x2x，故D正确，从而B不正确即结论正确的是CD.2已知函数f(x)(xa)exax2a(a1)x(aR)，讨论f(x)的单调性解f(x)(xa)exexaxa(a1)x(a1)(exa)当a0时，exa0.当x(，a1)时，f(x)0，f(x)为减函数；当x(a1，)时，f(x)0，f(x)为增函数当a0时，令f(x)0，得x1a1，x2ln a.令g(a)a1ln a，则g(a)1.当a(0,1)时， g(a)0，g(a)为减函数；当a(1，)时，g(a)0，g(a)为增函数g(a)ming(1)0，a1ln a(当且仅当a1时取“”)当0a1或a1时，x(，ln a)，f(x)0，f(x)为增函数，x(ln a，a1)，f(x)0，f(x)为减函数，x(a1，)，f(x)0，f(x)为增函数当a1时，f(x)x(ex1)0，f(x)在(，)上为增函数综上所述，当a0时，f(x)在(，a1)上单调递减，在(a1，)上单调递增；当0a1或a1时，f(x)在(ln a，a1)上单调递减，在(，ln a)和(a1，)上单调递增；当a1时，f(x)在(，)上单调递增.
