1、第4课时简单的逻辑联结词 教学过程一、 问题情境考察下列命题:(1) 6是2的倍数或6是3的倍数;(2) 6是2的倍数且6是3的倍数;(3) 不是有理数.二、 数学建构问题1这些命题的构成各有什么特点?命题(1)是用“或”将“6是2的倍数”与“6是3的倍数”联结而成的新命题;命题(2)是用“且”将“6是2的倍数”与“6是3的倍数”联结而成的新命题;命题(3)是对命题“是有理数”进行否定而成的新命题,在逻辑上常用“非”来表示.概念逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.不含逻辑联结词,是简单命题;由简单命题与逻辑联结词构成,是复合命题.我们常用小写拉丁字母p,q,r,表示命题.命题(
2、1)的构成形式为“p或q”; 命题(2)的构成形式为“p且q”;命题(3)的构成形式为“非p”.1. 将逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“交”“并”“补”比较记忆.构成形式符号表示读法对应集合p或qpq“”读作“析取”,表示“或者”并集p且qpq“”读作“合取”,表示“且”交集非pp“”读作“非”或“并非”,表示“否定”补集2.对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解(1)对“或”的理解:逻辑联结词的“或”与一般连词之间是有区别的.例如:在“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”中,“或”是一般连词;而“方程x2+x-2=0的解是x=-2或方程x
3、2+x-2=0的解是x=1”中,“或”是逻辑联结词,是两者至少选一个的意思,这与并集中的“或”有相同之处,AB=x|xA或xB.(2)对“且”的理解:“且”的含义可以联想到交集的概念,AB=x|xA且 xB,AB中的“且”是指“xA”“xB”两个条件都要满足的意思.(3)对“非”的理解:非的含义是否定,非p也称为命题p的否定.由“非”可以联想到补集的概念,UA=xU且xA.3.“p或q”“p且q”“非p”形式的命题中,p,q都是命题.而“若p则q”中的p,q可以是命题,也可以是其他的语句.4.思考:命题的否定与否命题是一回事吗?不一样.“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定,而“命题的否定”
4、只是否定命题的结论.注:在考虑命题“非p”时,往往需要对一些词语进行否定,常见的一些词语的否定词如下表所示.原词语是都是完全负数所有的否定词语不是不都是不完全非负数至少一个不原词语任意的任意两个所有的能至多n个否定词语某个某两个某些不能至少n+1个原词语等于(=)大于()小于(7,q:8=7.(2) 这个命题是“p且q”的形式,其中,p:2是偶数,q:2是质数.(3) 这个命题是“非p”的形式,其中,p:是整数.题后反思本题对含逻辑联结词的三种形式作了概括,学生能模仿即可.【例2】分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题.(1)p:是无理数,q:e不是无理数;(2)p
5、:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q:方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;(3)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.(见学生用书P8)规范板书解(1)“p或q”:是无理数或e不是无理数;“p且q”:是无理数且e不是无理数;“非p”:不是无理数.(2)“p或q”:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;“p且q”:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;“非p”:方程x2+2x+1=0没有两个相等的实数根.(3)“p或q”: 三角形的外角等于与
6、它不相邻的两个内角的和或三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;“p且q”: 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;“非p”: 三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和.题后反思注意含逻辑联结词的命题的结构.【例3】(教材第11页例3)判断下列命题的真假:(1)43; (2)44; (3)45.(见学生用书P8)处理建议命题形式虽然简洁,但是学生不易理解,需要通过一些实例来体会.规范板书解(1) “43”的含义是“43或4=3”,其中“43”是真命题,所以“43”是真命题.(2)“44”的含义是“44或4=4”,其中“4=4”是真命题,所以“4
7、4”是真命题.(3)“45”的含义是“45或4=5”,其中“45”与“4=5”都是假命题,所以“45”是假命题.题后反思通过这个例题,让学生体会“”“”的含义.*【例4】已知p:关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根;q:关于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求出满足要求的m的取值范围.处理建议先由“p或q”为真命题及“p且q”为假命题,得出p,q的真假,然后再求出m的取值范围.规范板书解若方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根,则若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,则=16(m-2)2-16=16(m2-
8、4m+3)0,解得1m3,即q:1m3.因为“p或q”为真命题,所以p,q至少有一个为真.又因为“p且q”为假命题,所以p,q至少有一个为假,因此这两个命题应是一真一假.当p真q假时,解得 m3;当p假q真时,解得1m2.综上,m3或1m2.变式将条件:如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,改为“p且q”为真命题,其他条件不变,求出满足要求的m的取值范围.规范板书解由题意知p,q都为真,得2m3.题后反思这道例题很典型,是一道逻辑关系和其他知识点综合的题目.应引导学生先求出每个命题都是真命题时参数的取值范围.四、 课堂练习1.命题“非空集合AB中的元素既是A中的元素也是 B 中的元素”是
9、p且q的形式,命题“非空集合AB中的元素是A中的元素或是B中的元素”是p或q的形式.提示xAB,则xA且xB,填“p且q”;xAB,则xA或xB,填“p或q”.2.已知p:菱形的对角线互相垂直;q:菱形的对角线互相平分,写出下列复合命题:(1)p或q;(2)p且q;(3)非p. 解(1)菱形的对角线互相垂直或平分;(2)菱形的对角线互相垂直且平分; (3)菱形的对角线不垂直.提示一般的问题都是“拆”复合命题,这里是“造”复合命题,关键在于“合”.3.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题,那么下列说法中正确的有.命题p不一定是假命题;命题p一定是假命题;命题q不一定是真命题;命题p与命题q都是真命题.提示p为假,从而q为真.4. 由命题p“0”与q“0N”构成的“p且q”形式的命题是假命题;由命题p“5是15的约数”与q“1是方程x2-x-2=0的根”构成的“p或q”形式的命题是真命题.五、 课堂小结1.知道简单的逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;能知道一个复合命题中逻辑联结词的使用情况.2.会利用“或”“且”“非”表述相关的数学内容.3.会判断“或”“且”“非”构成命题的真假.4.利用命题的真假求参数的取值范围.