1、第5讲函数的单调性与最值课标要求考情分析1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质函数的单调性、奇偶性常与函数的其他性质，如与周期性、对称性相结合求函数值或参数的取值范围，是高考的热点及重点.常与函数的图象及其他性质交汇命题.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇，则多为解答题1.函数的单调性(续表)前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M；存 在 x0I，使 得 f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得_结论M为最大值M为最小值2.函数的最大(小)
2、值f(x0)M题组一走出误区1.(多选题)下列结论不正确的是()A.函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)解析：对于 A，单调区间是定义域的子区间，如 yx 在1，)上是增函数，但它的单调递增区间是 R，而不是1，).对于 B，多个单调区间不能用“”符号连接，而应用“，”或“和”连接.图 D3，有两个减区间，但 y当 f(x1)f(x2)时都有 x1x2，但 yf(x)不是增函数.对于 D，当 f(x)x 时，y 1f(x)1x 1x并不是减函数，而 yf(x)是由 yf(t)与 tx 复合而成是减函数.故选 ABCD.答案：ABCD题组二走进教材xx1(x2)的最大
3、值为2.(必修 1P32 第 5 题改编)函数 f(x)_.解析：f(x)1 1x1112，即最大值为 2.答案：23.(必修 1P39 第 1 题改编)能说明“若 f(x)f(0)对任意的 x(0，2都成立，则 f(x)在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_.答案：ysin x(答案不唯一)题组三真题展现4.(2020 年新高考)设若定义在 R 的奇函数 f(x)在(，0)单调递减，且 f(2)0，则满足 xf(x1)0 的 x 的取值范围是()A.1，13，)B.3，10，1C.1，01，)D.1，01，3解析：因为定义在 R 上的奇函数 f(x)在(，0)上单调递减，且 f(2)0，
4、所 以 f(x)在(0，)上也是单调递减，且 f(2)0，f(0)0，所以当 x(，2)(0，2)时，f(x)0，当 x(2，0)(2，)时，f(x)0，所以由 xf(x1)0 可得：解得1x0或1x3，所以满足 xf(x1)0 的 x 的取值范围是1，01，3，故选 D.答案：DA.是奇函数，且在(0，)单调递增B.是奇函数，且在(0，)单调递减C.是偶函数，且在(0，)单调递增D.是偶函数，且在(0，)单调递减点对称，而 f(x)f(x)，所以函数 f(x)为奇函数.又因为函数 yx3 在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递增，上单调递增.故选 A.答案：A考点 1 函数单调性的判断 自
5、主练习1.(全国百所名校大联考)函数 ylog0.3(x1)log0.3(3x)的单调减区间为()D.(1，3)A.(1，0)B.(1，1)C.(0，3)又因为 ylog0.3(x1)log0.3(3x)log0.3(1x)(3x)，即ylog0.3(1x)(3x)，令 t(1x)(3x)，且 t 在(1，1)上单调递增，t 在(1，3)上单调递减，而 ylog0.3t 在(0，)上单调递减，根据复合函数的单调性的判断，ylog0.3(1x)(3x)的单调递减区间为(1，1).故选 B.答案：B2.(2019 年江苏无锡模拟)函数 f(x)|x2|x 的单调减区间是()A.1，2C.0，2B.
6、1，0D.2，)函数的单调减区间是1，2.答案：A3.函数 f(x)xln x 的单调递减区间是_.解得 0 x1 或 1x0，f(x)0 的解区间可判断函数的单调性(如题 3).2.如果一个函数在给定的定义域上单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“”连接，只能用“，”或“和”字隔开(如题 3).考点 2 函数单调性的应用 师生互动考向 1 比较大小例 1(1)(2020 年全国)若 2x2y0C.ln|xy|0B.ln(yx1)0D.ln|xy|0解析：由 2x2y3x3y，得 2x3x 2y3y，令 f(t)2t3t，f(t)为 R 上的增函数，y2x 为 R 上的增函数，y3
7、x 为 R 上的减函数，x0，yx11，ln(yx1)0，则 A 正确，B 错误；|xy|与 1 的大小不确定，故 CD 无法确定.故选 A.答案：A(2)(2019 年全国)设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0，)上单调递减，则()解析：f(x)是定义域为 R 的偶函数，答案：C考向 2 解不等式例 2(2017 年全国)函数 f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数.若 f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是()A.2，2B.1，1C.0，4D.1，3解析：函数 f(x)为奇函数，f(1)1，f(1)1，1f(x2)1f(1)f(x2)f(1)，函数 f(x)在(，
8、)单调递减，有1x21，解得 1x3.故选 D.答案：D考向 3 求参数的范围为奇函数，则 a_；若 f(x)是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是_.解析：若函数 f(x)exaex为奇函数，则 f(x)f(x)，a10，a1.若函数 f(x)exaex 是 R 上的增函数，则 f(x)exaex0恒成立，ae2x，a0.即实数 a 的取值范围是(，0.答案：1(，0例3(2019 年北京)设函数 f(x)exaex(a 为常数).若 f(x)exaex(exaex)，(a1)(exex)0对任意的 x 恒成立，间1，4上的最大值是 5，则 a 的取值范围是_.(3)若 f(x)x36ax
9、 的单调递减区间是(2，2)，则 a 的取值范围是()A.(，0B.2，2C.2D.2，)答案：C(4)若 f(x)x36ax 在区间(2，2)内单调递减，则 a 的取值范围是()A.(，0C.2B.2，2D.2，)答案：D【考法全练】答案：AB利用导数求函数的最值例 4已知函数 f(x)exax1.(1)求 f(x)的单调增区间；(2)是否存在 a，使 f(x)在(2，3)上为减函数，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由.解：f(x)exa，(1)若a0，则f(x)exa0，即f(x)在R上单调递增，若a0，exa0，exa，xln a.因此当 a0 时，f(x)的单调增区间为
10、 R，当 a0 时，f(x)的单调增区间是(ln a，).(2)f(x)exaex 在 x(2，3)上恒成立.又2x3，e2exe3，只需ae3.当 ae3时，f(x)exe3在x(2，3)上，f(x)0，即 f(x)在(2，3)上为减函数，ae3.故存在实数ae3，使 f(x)在(2，3)上为减函数.【高分训练】(2)x1，e时，分如下情况讨论：当 a0，函数 f(x)单调递增，其最小值为当 a1 时，函数 f(x)在1，e上单调递增，其最小值为当 1ae 时，函数 f(x)在1，a)上有 f(x)0，f(x)单调递增，所以，函数 f(x)一点注意：函数的单调性是针对某个区间而言的，若一个函数的单调区间有多个，要用逗号隔开，不能用“”连接.两种等价形式：设任取 x1，x2a，b，且 x10(0)f(x)在a，b上单调递增(减.)四种方法：判断函数的单调性常用的方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)复合法：复合函数的单调性保证“同增异减”；(4)导数法：利用导数可判断函数的单调性.五种方法：求函数值域常用的方法有：(1)配方法：对于形如二次函数求值域的题型常用配方法.(2)换元法：对于比较复杂的函axb的函数，常用换元法求解.(3)反解法：对于求形如 ycxd数求值域时常用反解法.(4)基本不等式法.(5)导数法.