1、河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二数学5月月考试题 理（含解析）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 复平面内表示复数z=i(2+i)点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】，则表示复数的点位于第三象限. 所以选C.【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应的点为、共轭复数为2. 用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A 方程没有实根B. 方程
2、至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根【答案】A【解析】分析：反证法证明命题时，假设结论不成立至少有一个的对立情况为没有故假设为方程没有实根详解：结论“方程至少有一个实根”的假设是“方程没有实根”点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立常见否定词语的否定形式如下：结论词没有至少有一个至多一个不大于不等于不存在反设词有一个也没有至少两个大于等于存在3. 等于（ ）A. 1B. -1C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用定积分的计算法则求解即可【详解】解：.故选：C【点睛】本题考查定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题4. 类比三角形中的性质：两边
3、之和大于第三边；中位线长等于底边的一半；三内角平分线交于一点；可得四面体的对应性质：任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于底面面积的；四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理的结论正确的有（ ）A. B. C. D. 都不对【答案】C【解析】【分析】由类比推理直接得结论成立.【详解】由题意，根据在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四面的面积，命题（1）正确由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质，可得过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的，（2）正确；将
4、一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，可得四面体的六个二面角的平分面交于一点，（3）正确故选C【点睛】本题考查类比推理，本题解题的关键是正确理解类比的含义，属于中档题5. 函数y=x2x的单调递减区间为A. （1,1B. （0,1C. 1，+）D. （0，+）【答案】B【解析】对函数求导，得（x0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域6. 论语子路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足”，所以，名不正，则民无所措手足.
5、上述推理过程用的是（ ）A. 类比推理B. 归纳推理C. 演绎推理D. 合情推理【答案】C【解析】分析：根据演绎推理的概念，即可作出判断. 详解：演绎推理：就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理可以帮助我们发现结论，题中所给的这种推理符合演绎推理的形式，故选C. 点睛：本题主要考查了演绎推理的定义，是一个基础题，这种题目可以单独出现，但是单独考查了的概率不大，通过这个题考生要掌握击中推理的特点，学会选择. 7. 设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()A B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的
6、解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.8. 观察下列各式：，则的末四位数字（ ）A. 8125B. 5625C. 3125D. 0625【答案】A【解析】【分析】计算出的值，由此找到规律，进而求得的末四位数字.【详解】由于，末四位为，末
7、四位的周期为，故，末四位和一样，为，故选A.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查分析问题的能力，属于基础题.9. 若有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ）A. (1,2)B. (,1)(2,+)C. (3,6)D. (,3)(6,+)【答案】D【解析】分析】先求出导数，由有极大值、极小值可知有两个不等实根，利用判别式大于零求解即可.【详解】解：函数，所以，因为函数有极大值和极小值，所以方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，解得：或.故选：D.【点睛】本题以函数的极值为载体，考查导数在求函数极值中的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程有两个不相等的实数根是解题的关键.
8、10. 函数的定义域为，对任意，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.【详解】依题意可设，所以.所以函数在上单调递增，又因为.所以要使，即，只需要，故选B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11. 若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数求导，求出函数的单调区间及极值，得到函数图象的变化趋势，根据函数有三个零点，寻求函数满
9、足的条件，即可求出.【详解】当时，当时，当时，所以当时，有极大值，当时，有极小值.要使有3个不同的零点，只需，解得.故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数图象的变化趋势，函数零点的概念，属于中档题.12. 是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】先构造函数，通过求导利用已知条件即可得出【详解】解：设，则，在区间上单调递减或为常函数，即又,所以 是减函数或常数函数，所以， 故选：AC【点睛】本题考查利用导数来判断函数的单调性，利用构造函数法和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键二、填空题
10、:本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 设，则_.【答案】3【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，再由复数模的公式计算得答案【详解】解：，则故答案为：3【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算和复数模的求法，是基础题14. 的值为_.【答案】.【解析】【分析】根据的定积分的几何意义，所围成的几何图形的面积是该圆的面积的四分之一，计算即可【详解】解：，即且，表示以为圆心，以1为半径的半圆，如图所示，定积分所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，定积分，故答案为：.【点睛】本题考查了定积分的几何意义，根据数形结合的思想15. 若函数在上是增函数，则的取值范围是_【答案】a3【解
11、析】【分析】求出函数的导函数，由导函数在大于等于0恒成立解之即可【详解】由条件知f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立函数y2x在上为减函数，ymax，a3.经检验，当a3时，满足题意【点睛】16. 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由题意知方程有两根，构造函数，可知直线与函数的图象有两个公共点，且两函数的图象均过点，考查直线与曲线相切于点这个临界位置，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，且，由，可得，构造函数，则直线与函数的图象有两个公共点，令，得，列表如下：极大值所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，函数取得最
12、大值，即，且当时，.易知，直线与函数的图象均过点，如下图所示：考虑直线与曲线相切于点这个临界位置，此时.即当时，直线与曲线相切于点，此时，直线与曲线有且只有一个公共点.由图象可知，当且时，直线与曲线有两个公共点.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点问题，一般转化为直线与函数图象的公共点问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知为虚数，为实数（1）若为纯虚数，求虚数；（2）求的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）由于为虚数，可设，根据为纯虚数，
13、求得的值，再由为实数求出的值，即得虚数；（2）由为实数且，可得，根据，求得的范围，根据复数的模的定义，化简为，进而求出的范围，即可得出的取值范围【详解】解：由于为虚数，可设，（1）则，由为纯虚数，得，又因为为实数，则，得，所以或.（2），因为为实数，则，解得：，由于，则，所以，即，所以的取值范围为.【点睛】本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法以及复数求模，考查运算求解能力18. （1）用综合法证明不等式：；（2）设均为正数，且.用分析法证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由条件利用基本不等式得，同理得：，再利用不等式的性质即可证明出结论；（2）要证明即，
14、结合，可得，化为，即可得证；【详解】（1）由于，则两边同时加上，得，即：，所以，同理得：，因此，即：.（2）要证明即只需证明，只需即，只需证明上式显然成立，所以成立，【点睛】本题考查利用综合法和分析法证明不等式，还涉及基本不等式和不等式的性质的应用，考查推理证明的能力19. 已知，函数（，为自然对数的底数）.（）当时，求函数的单调递增区间；（）若函数在上单调递增，求的取值范围.【答案】（）（）【解析】【分析】（）求得a=2的函数f(x)的导数，利用导数的正负求出原函数的单调区间；（）原函数在上单调递增，即导函数在(-1,1)大于等于0恒成立，在解不等式求得a的范围.【详解】（）当时，.令，解得
15、所以，函数的单调递增区间为.（）方法1：若函数在上单调递增，则在上恒成立.即，令.则在上恒成立.只需，得：方法2：，令，即，解得.所以，的增区间为又因为在上单调递增，所以 即，解得.【点睛】本题目考查了导函数的应用，函数单调性的求法以及二次函数恒成立问题，属于中档题.20. 已知满足，（1）求，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明对的猜想.【答案】（1）（） （2）见解析【解析】试题分析：（1）依题意，有，故猜想；（2）下面用数学归纳法证明.当时，显然成立；假设当）时，猜想成立，即，证明当时，也成立. 结合可知，猜想对一切都成立.试题解析：（1）猜想：（）（2）下面用数学归纳法证明（）当时，
16、显然成立； 假设当）时，猜想成立，即， 则当时，即对时，猜想也成立； 结合可知，猜想对一切都成立. 考点：合情推理与演绎推理、数学归纳法21. 【2018年新课标I卷文】已知函数（1）设是的极值点求，并求的单调区间；（2）证明：当时，【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增(2)证明见解析.【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f （2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a时，f（x），之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单
17、调性，从而求得g（x）g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f（x）的定义域为，f （x）=aex由题设知，f （2）=0，所以a=从而f（x）=，f （x）=当0x2时，f （x）2时，f （x）0所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增（2）当a时，f（x）设g（x）=，则 当0x1时，g（x）1时，g（x）0所以x=1是g（x）最小值点故当x0时，g（x）g（1）=0因此，当时，点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域
18、，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.22. 已知函数，曲线在点处的切线为.（1）求，的值；（2）若对任意的，恒成立，求正整数的最大值.【答案】（1），；（2）3【解析】【分析】（1）根据切线方程可求得且，从而构造方程求得结果；（2）利用分离变量的方式可得在上恒成立；令，通过导数可知，当时，当时，从而可得，可求得，则，得到所求结果.【详解】（1）由得：由切线方程可知：，解得：，（2）由（1）知则时，恒成立等价于时，恒成立令，则.令，则当时，则单调递增， ，使得当时，；时， ，即正整数的最大值为【点睛】本题考查根据在某一点处的切线方程求解函数解析式、利用导数解决恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值的关系，利用导数求得函数的最值，从而求得结果.