1、课时作业(十五)一、选择题1(2021全国高三专题练习)若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(-2，0，-4)，则(B)AlBlClDl与斜交【解析】a(1，0，2)，n(-2，0，-4)，n-2a，即na，l.故选B.2(2020衡阳模拟)空间点A(x，y，z)，O(0，0，0)，B(，2)，若|AO|1，则|AB|的最小值为(B)A1B2C3D4【解析】空间点A(x，y，z)，O(0，0，0)，B(，2)，|AO|1，A是以O为球心，1为半径的球上的点，B(，2)，|OB|3.|AB|的最小值为：|OB|-|OA|3-12.故选B.3(2020池州模拟)已知MN是正方体内
2、切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为(B)A0，4B0，2C1，4D1，2【解析】以D1为坐标原点，以D1A1，D1C1，D1D所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示；设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，则内切球的半径为1，所以()()()(-)2-10，2所以的取值范围是0，2故选B.4(2020肥城市模拟)已知a(x，-4，2)，b(3，y，-5)，若ab，则x2y2的取值范围为(C)A2，)B3，)C4，)D5，)【解析】ab，ab3x-4y-100，原点到直线的距离d2.则x2y2的取值范围为4，)故选C.5(20
3、21全国高三专题练习)如图：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是(A)A-abcBabcC-a-bcDa-bc【解析】，c，c()，-abc，故选A6(2021全国高三专题练习)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AD，CC1，A1D1的中点，则B1P与MN所成角的余弦值为(A)AB-CD【解析】如图以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则M(0，1，0)，N(2，2，1)，B1(2，0，2)，P(0，1，2)，所以(-2，1，0)，
4、(2，1，1)，设B1P与MN所成的角为，所以cos ，B1P与MN所成角的余弦值为.二、填空题7(2021上海长宁区高三二模)若向量a(1，0，1)，b(0，1，-1)，则向量a，b的夹角为_.【解析】根据题意，设向量a，b的夹角为，向量a(1，0，1)，b(0，1，-1)，则向量|a|，|b|，ab-1，则cos -，又由0，则.8(2020西湖区校级模拟)设平面的法向量为n1(1，-2，2)，平面的法向量为n2(2，4)，若，则|n2|_3_.【解析】平面的法向量为n1(1，-2，2)，平面的法向量为n2(2，4)，若，则n1n2，n1n22-280，5，n2(2，5，4)，|n2|3.
5、9(2021上海松江区高三二模)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1B1D1F，若xyz，则xyz_2_.【解析】因为-，又xz1，所以xy，z1，则xyz2.10(2021北京海淀区高三模拟)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，M为BC中点，N为平面DCC1D1上的动点，若MNA1C，则三棱锥N-AA1D的体积最大值为_.【解析】以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系：则A1(1，0，1)，C(0，1，0)，M，设N(0，a，b)，0a1，0b1，所以(-1，1，-1)，因为，所以a-1-b0，即a-b，又ba-，0b1，所以
6、a1，所以VN-AA1DSAA1D，当a1，b等号成立，所以三棱锥N-AA1D的体积最大值为.三、解答题11(2021全国高三模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，APDP1，AD，CP，F为线段PD的中点(1)求证：CDAF；(2)求直线PB与平面CFB所成角的正弦值【解析】(1)在PCD中，因为PC，DP1，CDAD，所以CD2DP2CP2，所以CDDP，因为CDAD，ADDPD，所以CD平面PAD，因为AF平面PAD，所以CDAF.(2)由(1)知CDDP，以DP，DC所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示：在APD中，因为APDP1，AD，所
7、以AP2DP2AD2，所以APDP；因为CD平面PAD，PA平面PAD，所以CDAP.因为CDDPD，所以AP平面PCD.可得D(0，0，0)，P(1，0，0)，C(0，0)，F，A(1，0，1)因为(1，1)，所以B(1，1)，所以，(0，1)设平面CFB的一个法向量为n(x，y，z)，则，所以，令x4，则y，z-4，所以n(4，-4)设直线PB与平面CFB所成的角为，则sin .12(2021吉林松原市高三月考)在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PBBDPD4，PA4.(1)证明：PC平面ABCD；(2)如图，取BC的中点为E，在线段DE上取一点F使得，求二面角F-P
8、A-C的大小【解析】(1)因为ABAD4，BD4，所以AB2AD2BD2，所以ABAD，又因为四边形ABCD为平行四边形，所以ABBC，ADDC，因为AB4，BP4，PA4，所以AB2BP2AP2，所以ABBP，因为PBBCB，所以AB平面BPC，所以ABCP，因为AD4，DP4，PA4，所以AD2DP2AP2，所以ADDP，因为PDDCD，所以AD平面PCD，所以ADCP，因为ADABA，所以PC平面ABCD.(2)由(1)知，CD，CB，CP两两垂直，分别以CD，CB，CP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在三角形PBC中，PC4，则A(4，4，0)，B(0，4，0)
9、，C(0，0，0)，D(4，0，0)，E(0，2，0)，P(0，0，4)，所以(-4，2，0)，因为，(4，4，-4)，设平面PAF的一个法向量为m(x，y，z)，则，即，令y1，得x-2，z-1，于是取m(-2，1，-1)，又由(1)知，底面ABCD为正方形，所以ACBD，因为PC平面ABCD，所以PCBD，因为ACPCC，所以BD平面ACP，所以(4，-4，0)是平面PAC的一个法向量，设二面角F-PA-C的大小为，则cos |cosm，|，所以二面角F-PA-C的大小为.13(2021天津高考真题)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点(
10、1)求证：D1F平面A1EC1；(2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值，(3)求二面角A-A1C1-E的正弦值【解析】(1)以A为原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E(2，1，0)，F(1，2，0)，所以(1，0，-2)，(2，2，0)，(2，1，-2)，设平面A1EC1的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则，令x12，则m(2，-2，1)，因为m2-20，所以m，因为D1
11、F平面A1EC1，所以D1F平面A1EC1.(2)由(1)得，(2，2，2)，设直线AC1与平面A1EC1所成角为，则sin |cosm，|.(3)由正方体的特征可得，平面AA1C1的一个法向量为(2，-2，0)，则cos，m，所以二面角A-A1C1-E的正弦值为.14(2020葫芦岛一模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1平面ABC，ABBC，AA1ABBC2.(1)求证：BC1平面A1B1C；(2)求异面直线B1C与A1B所成角的大小；(3)点M在线段B1C上，且(0，1)，点N在线段A1B上，若MN平面A1ACC1，求的值(用含的代数式表示)【解析】(1)证明：在三棱柱ABC-
12、A1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面A1B1C1，BB1平面B1BCC1，平面B1BCC1平面A1B1C1，交线为B1C1，又ABBC，A1B1B1C1，A1B1平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，A1B1BC1，BB1BC2，B1CBC1，A1B1B1CB1，BC1平面A1B1C.(2)由(1)知BB1平面ABC，ABBC，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A1(0，2，2)，B1(0，0，2)，(2，0，-2)，(0，-2，-2)，cos，.异面直线B1C与A1B所成角的大小为.(3)A(0，2，0)，A1(0，2，2)，(2，-2，0)，(0，0，2)，设平面ACC1A1的法向量n(x，y，z)，则，取x1，得n(1，1，0)，点M在线段B1C上，且(0，1)，M(2，0，2-2)，点N在线段A1B上，设，得N(0，2-2，2-2)，则(-2，2-2，2-2)，MN平面A1ACC1，n-22-20，解得1-.1-.11
