1、第四节基本不等式 考点一利用基本不等式证明不等式 例1已知a0，b0，ab1，求证：8.自主解答2，ab1，a0，b0，2224，8.【互动探究】保持例题条件不变，证明： 2.证明：a0，b0，且ab1， 2.当且仅当a1，b1，即ab时等号成立【方法规律】利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变形，同时注意基本不等式成立的条件对待证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明设a、b均为正实数，求证：ab2.证明：由于a、b均为正实数，所以2 ，当且仅当，即ab时等号成立，又因为ab2 2，当且仅当ab时等号成立，所以
2、abab2，当且仅当即ab时取等号.高频考点考点二 利用基本不等式求最值1利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题2高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下几个命题角度：(1)知和求积的最值；(2)知积求和的最值；(3)构造不等式求最值例2(1)(2013福建高考)若2x2y1，则xy的取值范围是()A0,2 B2,0C2，) D(，2(2)(2013山东高考)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0.则当取得最大值时，的最大值为()A0 B1 C. D3(3)(2013天津高考)设ab2，b0，则的最小值为_自主解答(1)因为2x0,2y0，所以12x2y2
3、2，故，即2xy22，所以xy2.(2)由x23xy4y2z0，得zx23xy4y2，.又x、y、z为正实数，4，当且仅当x2y时取等号，此时z2y2.221，当1，即y1时，上式有最大值1.(3)ab2，b0，b2a0，得a2.令t，当0a2时，t2 ，当且仅当，即b2a，a(0,2)时，t取得最小值为.当a，的最小值为.答案(1)D(2)B(3)利用基本不等式求最值问题的常见类型及解题策略(1)知和求积的最值求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”但应注意以下两点：具备条件正数；验证等号成立(2)知积求和的最值明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不
4、等式求最值的条件(3)构造不等式求最值在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解1已知f(x)x2(x0)，则f(x)有()A最大值为0 B最小值为0C最大值为4 D最小值为4解析：选Cx0，x222 24，当且仅当x，即x1时等号成立2(2014衢州模拟)已知a，bR，且ab1，则的最小值为_解析：52549.当且仅当ab时，取等号答案：93(2013四川高考)已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_.解析：x0，a0，f(x)4x2 4，当且仅当4x时等号成立，此时a4x2，由已知x3时函数取得最小值，所以a4936.
5、答案：36考点三基本不等式的实际应用 例3为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t0)万元满足x4(k为常数)如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)(1)将该厂家2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？自主解答(1)由题意有14，得k3，故x4.故
6、y1.5x(612x)t36xt36t27t(t0)(2) 由(1)知：y27t27.5. 基本不等式26，当且仅当t，即t2.5时等号成立故y27t27.527.5621.5.当且仅当t，即t2.5时，等号成立，y有最大值21.5.所以2014年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元【方法规律】解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求(4)有些实际问题中，要求最值的量需要
7、用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值某单位建造一间地面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，房顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？解：由题意可得，造价y35 8009005 800(00)逆用就是ab2(a，b0)等，还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等2个变形基本不等式的变形 (1)2ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)；(2) (a0，b0，当且仅当ab时取等号)3个注意点利用基本不等式求最值应注意的问题 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致
