1、第三章 函数的概念与性质第3节 幂函数一、 基础巩固1（2020陕西新城西安中学高二期末（文）以下命题正确的是（ ）幂函数的图像都经过幂函数的图像不可能出现在第四象限当时，函数的图像是两条射线（不含端点）是奇函数，且在定义域内为减函数ABCD【答案】C【解析】幂函数不经过原点，所以不正确；形如，的函数是幂函数，当时，所以函数的图象不可能出现在第四象限，所以正确；的定义域是，所以时，的图象是两条射线（不含端点），所以正确；是奇函数，函数的定义域是，函数在是减函数，在也是减函数，但在定义域内不是减函数，所以不正确.2（2020浙江越城绍兴市阳明中学高二期中）函数的定义域为（ ）ABCD【答案】A【
2、解析】自变量满足，故， 故函数的定义域为.故选：A.3（2020公主岭市第一中学校高一期中（理）已知幂函数的图象不过原点，则的值为（）A0B-1C2D0或2【答案】A【解析】函数是幂函数， ，解得：或，当时，过原点，不满足条件；当时，不过原点，满足条件，.4（2020广西北流市实验中学高三开学考试（理）若，则下列一定成立的是（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，由，但并不清楚之间大小关系所以大小关系不明确，则A,B不对因为，由，所以有在单调递增，所以，故C正确，D错误5（2020天津市第五中学高二期中）已知函数f（x）=x2m是定义在区间3m，m2m上的奇函数，则Af（m）f（1）Df（m）与
3、f（1）大小不确定【答案】A【解析】因为幂函数f（x）是奇函数，奇函数的定义域必然关于原点对称，所以（3m）+（m2m）=0，解得m=1或m=3当m=1时，函数f（x）=x3，2x2，所以f（m）=f（1）f（1）；当m=3时，函数f（x）=，在x=0时无意义，不满足题意，舍去,故选A6（2020鞍山市第八中学高一期中）若幂函数没有零点，则的图象关于（ ）对称A原点Bx轴Cy轴D没有【答案】A【解析】函数为幂函数，且与轴无交点 ，解得或且，.是奇函数，关于原点对称.7（2020辽宁沈阳高一期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（ ）AB0C1D2【答案】C【解析】由题意
4、可得：且为偶数， 解得，且为偶数， 8（2020开鲁县第一中学高一期末（文）下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）ABCD【答案】D【解析】A选项，函数的定义域为，所以函数是非奇非偶函数，排除A；B选项，幂函数在上单调递减，排除B；C选项，函数的定义域为，所以函数是奇函数，排除C；D选项，函数的定义域为，且，所以函数是偶函数；又由幂函数的性质可得，幂函数在上单调递增，故D正确；9（2020浙江高一课时练习）若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】设，联立得，因为，所以，由它们的图象可知的取值范围是.10（2020浙江高一课时练习）5个幂函数：；.其中定义域为的是（ ）A只有B只
5、有C只有D只有【答案】C【解析】的定义域为，的定义域为R，的定义域为，的定义域为R，的定义域为，11（2020全国高一课时练习）以下结论正确的是（ ）A当时，函数的图象是一条直线B幂函数的图象都经过、两点C若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大D幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限【答案】D【解析】对于A选项，当时，函数的定义域为，所以，函数的图象是两条射线，A选项错误；对于B选项，幂函数不经过原点，B选项错误；对于C选项，幂函数的图象关于原点对称，但函数在定义域内不单调，C选项错误；对于D选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义矛盾
6、，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，若幂函数为偶函数，则幂函数在第二象限有图象，D选项正确.12（2020浙江高一课时练习）已知幂函数（且互质）的图象如图所示，则（ ）A，均为奇数，且B为偶数，为奇数，且C为奇数，为偶数，且D为奇数，为偶数，且【答案】D【解析】由幂函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，所以为偶数，则为奇数，因为图象在第一象限内向上凸起，且在单调递增，所以.13（2020浙江高一课时练习）下面4个图象都是幂函数的图象，函数的图象是（ ）ABCD【答案】B【解析】由幂函数的性质可知，函数的图象在上单调递减，则AC错误；令，因为，所以函数为偶函数，则D错误；14（2020浙江
7、高一课时练习）函数（，）与的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD【答案】D【解析】由图可知，单调递增，则；单调递减，则，A：0不一定成立，如；B：不一定成立，如；C：不成立，的；D：，成立15（2019浙江高三月考）在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（ ）ABCD【答案】A【解析】为幂函数，为指数函数A. 过定点，可知，的图象符合，故可能.B. 过定点，可知，的图象不符合，故不可能.C. 过定点，可知，的图象不符合，故不可能.D.图象中无幂函数图象，故不可能.16（2020湖北武汉高三其他（理）若0ab1，xab，yba，zbb，则x、y、z的大小关系为（ AxzyByxz
8、CyzxDzyx【答案】A【解析】因为，故单调递减；故，幂函数单调递增；故，则、的大小关系为：；17（多选题）（2020新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A函数为增函数B函数为偶函数C若，则D若，则.【答案】ACD【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.当时，即，所以C正确.当若时，=.=.=.即成立，所以D正确.18（多选题）（2019福建湖里厦门双十中学高一期中）黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：奇函数；值域是；在上是减函数.则以下幂函数符合这三个
9、性质的有（ ）ABCDE.【答案】CD【解析】A. ，为偶函数，排除；B. ，值域为，排除； C. ，为奇函数，值域为，在上是减函数，满足；D. ，为奇函数，值域为，在上是减函数，满足；E. ，为偶函数，排除；19（多选题）（2020全国高一课时练习）已知实数a，b满足等式，则下列五个关系式中可能成立的是（ ）ABCDE.【答案】ACE【解析】画出与的图象（如图），设，作直线.从图象知，若或1，则；若，则；若；则.故其中可能成立的是ACE.20（多选题）（2020全国高一课时练习）已知幂函数（m，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）Am，n是奇数时，幂函数是奇函数Bm是偶数，n是奇数时，
10、幂函数是偶函数Cm是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D时，幂函数在上是减函数E.m，n是奇数时，幂函数的定义域为【答案】ACE【解析】，当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确.二、 拓展提升1（2019福建泉州高一期中）已知幂函数的图象经过点（1）求函数的解析式；（2）设函数，试判断函数在区间上的单调性，并求函数在区间上的值域【解析】（1）设，则，则，所以（2）因为，所以
11、函数在区间上为增函数，所以时，有最大值；时，有最小值所以函数在上的值域为2（2017铜梁一中高三月考（文）已知幂函数,且在上单调递增.(1)求实数的值,并写出相应的函数的解析式;(2)若在区间上不单调,求实数的取值范围;(3)试判断是否存在正数,使函数在区间上的值域为若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意知,解得:. 2分又 或, 3分分别代入原函数,得. 4分(2)由已知得. 5分要使函数不单调，则，则. 8分(3)由已知,. 9分法一:假设存在这样的正数符合题意,则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,因而,函数在上的最小值只能在或处取得,又,从而必有,解得.此时
12、,其对称轴,在上的最大值为,符合题意.存在,使函数在区间上的值域为14分法二:假设存在这样的正数符合题意,由(1)知,则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,3（2020浙江高一课时练习）已知在区间上，函数与都是减函数，试求的取值范围.【解析】解：因为幂函数时，函数在上单调递减，二次函数开口向下，在单调递减， 所以有，解得.故实数的取值范围是：4（2018郁南县连滩中学高一期中）已知函数，且.（1）求的值；（2）证明的奇偶性；（3）判断在上的单调性，并给予证明.【解析】（1），解得；（2）因为，定义域为，关于原点对称，又，因此，函数为奇函数；（3）设，则，因为，所以，所以，因此，函数在上为单调增函数.5（2020浙江高一课时练习）已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p的值，并写出相应的函数的解析式.（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由于已知在上是增函数，因而，解得.又，因而或1或2.当或时，不是偶函数；当时，符合题意.（2）存在.理由如下：由（1）知.由于，因而当时，此时，函数单调递减，而函数在上单调递减，则外层函数在上单调递增；当时，此时，函数单调递增，而函数在上单调递减，则外层函数在上单调递减.所以，即.所以存在满足题设条件.