1、1.3.2球的体积和表面积学 习 目 标核 心 素 养1.了解并掌握球的体积和表面积公式2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题(重点)3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题(难点、易混点)1.通过对球的概念的学习，培养直观想象的数学核心素养；2.通过学习球的表面积、体积公式，培养逻辑推理、直观想象和数学运算的数学核心素养1球的体积和表面积设球的半径为R，则球的体积VVR3球的表面积SS4R22.球的表面积与它的大圆面积的关系球的表面积等于它的大圆面积的4倍思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？提示球没有底面，球的表面不能展开成平面图形1若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是
2、()ABCD2C2C由2RC，得R，所以S球面4R2.2设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A B C4 D32C设正方体的棱长为a，则6a224，解得a2.正方体的体对角线为l2.由2Rl得R.正方体的外接球体积为V球()34.3表面积为4的球的半径是_1设球的半径为R，则S4R24，得R1.4两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是_设大球的半径为R，则有R3213，R32，R.球的表面积与体积【例1】(1)已知球的表面积为64，求它的体积；(2)已知球的体积为，求它的表面积解(1)设球的半径为r，则由已知得4r264，r4.所以球的体积：Vr3.(2)设球的半径
3、为R，由已知得R3，所以R5，所以球的表面积为：S4R2452100.求球的表面积与体积的一个关键和两个结论：(1)关键：把握住球的表面积公式S球4R2，球的体积公式V球R3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了(2)两个结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方1如果两个球的体积之比为827，那么两个球的表面积之比为_49根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积的比等于半径之比的平方，因为两个球的体积之比为827，所以两个球的半径之比为2
4、3，所以两个球的表面积的比为49. 球的截面问题【例2】(1)平面截球O的球面所得圆的半径为1. 球心O到平面的距离为，则此球的体积为()AB4C4D6B如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，则OO，OM1，OM，即球的半径为，V()34.(2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6和8，则这两个截面间的距离为_1或7若两个平行截面在球心同侧，如图，则两个截面间的距离为1；若两个平行截面在球心异侧，如图，则两个截面间的距离为7.1有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决2注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的
5、半径围成一个直角三角形，满足勾股定理2已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. 若圆M的面积为3，则球O的表面积等于_16如图，圆M面积为3， 则圆M半径MB为，OA2，则球O的表面积等于42216.与球有关的切、接问题探究问题1若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径R与三条棱长有何关系？提示2R.2棱长为a的正方体的外接球，其半径R与棱长a有何数量关系？其内切球呢？提示外接球半径Ra；内切球半径Ra.3若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R与棱长a有何数量关系？提示Ra.【例3】(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为_.(2)正
6、方体的全面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_(1)(2)(1)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为.(2)正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合可见，正方体的对角线是球的直径设球的半径是r，则正方体的对角线长是2r.依题意，2r，即r2a2，所以S球4r24a2. 1将本例(1)变为：长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是()A12B. 18C36D. 6A由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为2，从而球的半径为，球表面积为12.2将本例(1)变为：圆柱内接于球
7、，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为_100如图，由条件知，O1A3，OO14，所以OA5，所以球的表面积为100.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算1球的表面积、体积基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化
8、为平面问题的主要方法2与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图1若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的()A2倍B4倍C8倍D16倍C设气球原来的半径为r，体积为V，则Vr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的238倍2某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_3由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即43.3一个正方体的八个顶点都在体积为的球面上，则正方体的表面积为_8设球的半径为R，正方体的棱长为a，则R3，故R1，由a2R2，所以a，所以正方体的表面积为S6a268.4(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；(2)已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，求这个球的体积解(1)由R1，所以S球4R24，VR3.(2)设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2(3R)2()2，解得R2，所以所求球的体积VR323.