1、课后限时集训(六十五)古典概型与几何概型建议用时：40分钟一、选择题1(2020全国卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.B C.DA根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，取到的3点共线的概率为，故选A.2“上医医国”出自国语晋语八，比喻高贤能治理好国家现把这四个字分别写在四张卡片上
2、，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是()A.B C.DA幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n3，该幼童能将这句话排列正确的概率P.故选A.3易经是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为()A.B C.DC抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为.故选C.4某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发
3、车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B C.DB如图所示，画出时间轴小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，得所求概率P，故选B.5.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成如图，是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A.B C.DD设图中最小正方形的边长为a，则此点取自阴影部分的概率P.故选D.二、填空题6(2019江苏高考)从3名男同学和2名
4、女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n10，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件个数：m3，选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p11.7有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_由题意得该圆柱的体积V1222.圆柱内满足点P到点O的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V1 13，所以所求概率P.8.如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损
5、，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为_0.3依题意，记题中被污损的数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8921)(53x5)0，解得x7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P0.3.三、解答题9已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的
6、2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率解(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人(2)从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F，B，G，C，D，C，E，C，F，C，G，D，E，D，F，D，G，E，F，E，G，F，G，共21种由，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能
7、结果为A，B，A，C，B，C，D，E，F，G，共5种所以，事件M发生的概率P(M).10某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率(1)求图中m的值；(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；(3)在450,500)，500,550这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率解(1)依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：50(m0.004 00.005 00.006 60.001 60.00
8、0 8)1，解得m0.002 0.(2)设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t.因为前2组的频率之和为(0.002 00.004 0)500.30.5，所以350t400，由0.30.0050(t350)0.5，得t390.所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟(3)由题意，可得在450,500)内抽取64人，分别记为a，b，c，d，在500,550内抽取2人，记为e，f，则6人中抽取2人的取法有：a，b，a，c，a，d，a，e，a，f，b，c，b，d，b，e，b，f，c，d，c，e，c，f，d，e，d，f，e，f，共15种等可能的取法其中抽取的2人恰在同一组的有
9、a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d，e，f，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率P.1在区间0，上随机地取一个数x，则事件“sin x”发生的概率为()A.B C.DD在0，上，当x时，sin x，故概率为.2(多选)已知甲罐中有四个相同的小球，标号1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B“抽取的两个小球标号之积大于8”，则()A事件A发生的概率为B事件AB发生的概率为C事件AB发生的概率为D从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为BC甲罐中有四个相同的小球
10、，标号1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B“抽取的两个小球标号之积大于8”，对于A，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，基本事件总数n4520，事件A包含的基本事件有：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共11个，P(A)，故A错误；对于B，事件AB包含的基本事件有：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，
11、(4,6)，共11个，P(AB)，故B正确；对于C，事件AB包含的基本事件有(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共8个，P(AB)，故C正确；对于D，从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为P，故D错误故选BC.3甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“论语知识大赛”，决出第1名到第5名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析，丙是第一名的概率是_因为甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，所以
12、这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是.4已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636，由ab1，得2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6满足ab0的基本事件的
13、结果为A(x，y)|1x6,1y6且2xy0画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab0的概率为.1(多选)(2020湖北武汉质监改编)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次，记事件A第一个四面体向下的一面出现偶数；事件B第二个四面体向下的一面出现奇数；事件C两个四面体向下的一面同时出现奇数，或者同时出现偶数下列说法正确的是()AP(A)P(B)P(C)BP(AB)P(AC)P(BC)CP(ABC)DP(A)P(B)P(C)ABD由古典概型的概率计算公式，得P(A)P(B)，P(C)，所以P(A)P(B)P(C)，A正确；P(A)P(B)P(C)，D正确；而事件A，B，C不可能同时发生，故P(ABC)0，所以C不正确；又P(AB)，P(AC)，P(BC)，所以P(AB)P(AC)P(BC)，B正确故选ABD.2某人有4把钥匙，其中2把能打开门现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是_如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是_第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开的概率为；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为.