1、基础过关1.如图X12-1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)EF平面PCD;(2)平面PAB平面PCD.图X12-12.如图X12-2,已知长方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求证:AD1平面A1BC1;(2)若AB=AD=2,AA1=3,求直线A1D与平面A1BC1所成角的正弦值.图X12-23.如图X12-3,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,ABE=60,G为BE的中点.(1)求证:AG平面ADF;(2)若AB=3,BC=1,求二面角D-CA-G的余弦值.图X12-34.如图X12-4
2、,平面ABCD平面CDEF,四边形ABCD是梯形,ABCD,BAD=60,四边形CDEF是矩形,AB=AD=DE=12CD,M是DE上的动点.(1)试确定M点的位置,使BE平面MAC,并证明;(2)在(1)的条件下,求直线BF与平面MAC所成角的正弦值.图X12-45.如图X12-5,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAD为正三角形,且平面PAD平面ABCD,E为PD的中点,AD=2.(1)求证:平面AEC平面PCD;(2)若二面角A-PC-D的余弦值为24,求AB的长.图X12-56.如图X12-6,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,正方形ABCD的边长为2,E是PA
3、的中点.(1)求证:PC平面BDE.(2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为1010,求PA的长.(3)若PA=2,在棱PC上是否存在一点F,使得AF平面BDE?若存在,求线段PF的长;若不存在,请说明理由.图X12-6能力提升7.如图X12-7,在平行四边形ABB1A1中,ABB1=60,AB=4,AA1=2,C,C1分别为AB,A1B1的中点.现把四边形AA1C1C沿CC1折起,如图所示,连接B1C,B1A,B1A1.(1)求证:AB1CC1;(2)若AB1=6,求二面角C-AB1-A1的余弦值.图X12-78.如图X12-8,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,P
4、AD是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.(1)求证:PO平面ABCD.(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小.(3)棱PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成的角为6?若存在,求线段PM的长;若不存在,请说明理由.图X12-8限时集训(十二)1.证明:(1)取PC的中点G,连接DG,FG.在PBC中,F,G分别为PB,PC的中点,GFBC,GF=12BC.底面ABCD为矩形,且E为AD的中点,DEBC,DE=12BC,GFDE,GF=DE,则四边形DEFG为平行四边形,EFDG.EF平面PCD,EF平面PCD.(2)底面ABCD为矩
5、形,CDAD.平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,CD平面ABCD,CD平面PAD.PA平面PAD,CDPA.又PAPD,PD平面PCD,CD平面PCD,PDCD=D,PA平面PCD.PA平面PAB,平面PAB平面PCD.2.解:(1)证明:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=C1D1,ABC1D1,所以四边形ABC1D1是平行四边形,所以AD1BC1.因为BC1平面A1BC1,AD1平面A1BC1,所以AD1平面A1BC1.(2)以A1为原点,以A1D1,A1B1,A1A的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.由AB=AD=2,AA1=3,得
6、A1(0,0,0),C1(2,2,0),D(2,0,3),B(0,2,3),所以A1D=(2,0,3),A1C1=(2,2,0),A1B=(0,2,3).设平面A1BC1的法向量为m=(x,y,z),由mA1C1=0,mA1B=0,得2x+2y=0,2y+3z=0,令y=-3,得m=(3,-3,2).设直线A1D与平面A1BC1所成的角为,所以sin=|cos|=|A1Dm|A1D|m|=6+64+0+99+9+4=6286143,即直线A1D与平面A1BC1所成角的正弦值为6286143.3.解:(1)证明:平面ABCD平面ABEF,ADAB,AD平面ABEF,AG平面ABEF,ADAG.在
7、菱形ABEF中,ABE=60,G为BE的中点,AGBE,AGAF.ADAF=A,AG平面ADF.(2)由(1)可知AD,AF,AG两两垂直,以A为原点,以AG,AF,AD的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,AB=3,AG=32,故A(0,0,0),C32,-32,1,D(0,0,1),G32,0,0,则AC=32,-32,1,AD=(0,0,1),AG=32,0,0.设平面ACD的法向量为n1=(x1,y1,z1),则ACn1=32x1-32y1+z1=0,ADn1=z1=0,取y1=3,得n1=(1,3,0).设平面ACG的法向量为n2=(x2,y2,z2),则ACn2=3
8、2x2-32y2+z2=0,AGn2=32x2=0,取y2=2,得n2=(0,2,3).设二面角D-CA-G的平面角为,则|cos|=|n1n2|n1|n2|=2327=217,由图可知为钝角,二面角D-CA-G的余弦值为-217.4.解:(1)当EM=13DE时,BE平面MAC.证明如下:连接BD,交AC于N,连接MN,因为ABCD,所以CNDANB,因为AB=12CD,所以DNNB=2.又EM=13DE,所以DMME=2,所以MNBE,因为MN平面MAC,BE平面MAC,所以BE平面MAC.(2)因为平面ABCD平面CDEF,DECD,平面ABCD平面CDEF=CD,所以DE平面ABCD,
9、以D为原点,以DC,DE的方向分别为y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=1,则C(0,2,0),M0,0,23,F(0,2,1),B32,12,0,A32,-12,0,则MA=32,-12,-23,MC=0,2,-23,BF=-32,32,1.设平面MAC的法向量为n=(x,y,z),则由nMA=0,nMC=0,得32x-12y-23z=0,2y-23z=0,取y=1,得n=53,1,3.设直线BF与平面MAC所成的角为,则sin=|cos|=|(53,1,3)(-32,32,1)|(53)2+12+32(-32)2+(32)2+12=|-52+32+3|2553=1655
10、5,故直线BF与平面MAC所成角的正弦值为16555.5.解:(1)证明:取AD的中点O,BC的中点F,连接PO,OF,PAD为正三角形,OPAD,OP=3,又平面PAD平面ABCD,OP平面PAD,平面PAD平面ABCD=AD,OP平面ABCD.如图所示,以O为原点,以OA,OF,OP的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,设AB=a(a0),则A(1,0,0),C(-1,a,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),E-12,0,32,AE=-32,0,32,DC=(0,a,0),DP=(1,0,3),AEDP=-32+323=0,AEDC=0,即AEDP,AEDC,DP,
11、DC平面PCD,且DPDC=D,AE平面PCD,又AE平面AEC,平面AEC平面PCD.(2)由(1)可知,AC=(-2,a,0),AP=(-1,0,3),平面PCD的法向量为AE=-32,0,32.设平面APC的法向量为m=(x,y,z),则mAC=0,mAP=0,即-2x+ay=0,-x+3z=0,令x=1,则y=2a,z=33,m=1,2a,33,cos=mAE|m|AE|=-32+333243+4a23=-143+4a23,由题可知,143+4a23=24,解得a=3或-3(舍去),AB的长为3.6.解:因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.因为四边形ABCD为正方形,
12、所以CDDA,又PADA=A,所以CD平面ADP.如图,以D为原点,以AP,DA,DC的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,2,0),B(0,2,2),C(0,0,2),D(0,0,0),设PA=a(a0),则P(a,2,0),Ea2,2,0,PC=(-a,-2,2),DB=(0,2,2),DE=a2,2,0.(1)证明:设平面BDE的法向量为n1=(x0,y0,z0),由n1DB=0,n1DE=0,得2y0+2z0=0,a2x0+2y0=0,令y0=1,则n1=-4a,1,-1,因为PCn1=4-2-2=0,PC平面BDE,所以PC平面BDE.(2)设平面PCD的法
13、向量为n2=(x1,y1,z1),又DC=(0,0,2),DP=(a,2,0),由n2DC=0,n2DP=0,得2z1=0,ax1+2y1=0,令x1=2,则n2=(2,-a,0).BE=a2,0,-2,设直线BE与平面PCD所成的角为,由题知sin=|cos|=|BEn2|BE|n2|=aa24+44+a2=1010,解得a=2或4,所以PA的长为2或4.(3)因为PA=2,所以P(2,2,0),假设存在满足题意的点F,设PF=PC(01),则F(2-2,2-2,2),由(1)知平面BDE的一个法向量为n1=(-2,1,-1),则AFn1,又AF=(2-2,-2,2),所以2-2-2=-21
14、,解得=13.因为|PC|=23,所以PF=233,故存在满足题意的点F,且线段PF的长为233.7.解:(1)证明:取CC1的中点O,连接OA,OB1,AC1.在平行四边形ABB1A1中,ABB1=60,AB=4,AA1=2,C,C1分别为AB,A1B1的中点,ACC1,B1CC1均为正三角形,则AOCC1,OB1C1C,又AOOB1=O,CC1平面OAB1,AB1平面OAB1,AB1CC1.(2)由(1)知OA=3,OB1=3,AB1=6,OA2+OB12=AB12,则AOOB1,以O为原点,以OC,OB1,OA的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则C(1,0,0),B1
15、(0,3,0),C1(-1,0,0),A(0,0,3),CC1=(-2,0,0),AB1=(0,3,-3),AC=(1,0,-3),AA1=CC1=(-2,0,0),设平面AB1C的法向量为n=(x,y,z),则nAB1=3y-3z=0,nAC=x-3z=0,令z=1,则n=(3,1,1).设平面A1B1A的法向量为m=(x1,y1,z1),则mAA1=-2x1=0,mAB1=3y1-3z1=0,令z1=1,则m=(0,1,1),则cos=mn|m|n|=0+1+13+1+11+1=252=105,由图可知二面角C-AB1-A1是钝角,二面角C-AB1-A1的余弦值是-105.8.解:(1)证
16、明:因为PAD是正三角形,O是AD的中点,所以POAD.因为CD平面PAD,PO平面PAD,所以POCD.又ADCD=D,AD,CD平面ABCD,所以PO平面ABCD.(2)连接OG,则OGOA,如图,以O为原点,分别以OA,OG,OP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.则A(2,0,0),B(2,4,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,23),E(-1,2,3),F(-1,0,3),EF=(0,-2,0),EG=(1,2,-3).设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),则EFm=0,EGm=0,即-2y=0,x+2y-3z=0,令z
17、=1,则m=(3,0,1).由(1)知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1).设平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为02,则cos=|mn|m|n|=1(3)2+121=12,所以=3,即平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角为3.(3)假设棱PA上存在点M,使得直线GM与平面EFG所成的角为6,即直线GM与平面EFG的法向量m所成的角为3.设PM=PA,0,1,连接GP,则GP=(0,-4,23),由GM=GP+PM=GP+PA,得GM=(2,-4,23(1-),所以cos3=|cos|=3242-6+7=12,整理得22-3+2=0,0,方程无解,所以不存在满足题意的点M.