1、1.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是(a0，m，nN，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)幂的运算性质：amanamn，(am)namn，(ab)nanbn，其中a0，b0，m，nR.2.指数函数的图像与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1(6)是R上的增函数(7)是R上的减函数【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()na.()(2)分数指数幂可以理解为个a相乘.()(3)(1)(1).()(4)函数yax是R上的增函数.()(5)函数ya
2、x21(a1)的值域是(0，).()(6)函数y2x1是指数函数.()1.函数f(x)ax1 (a0，且a1)的图像一定过定点()A.(0,1) B.(1,1)C.(1,0) D.(0,0)答案B解析令x10得x1，此时ya01，所以点(1,1)与a无关，所以函数f(x)ax1(a0，且a1)的图像过定点(1,1).2.函数f(x)ax(a0，a1)的图像可能是()答案D解析函数f(x)的图像恒过(1,0)点，只有图像D适合.3.计算：lg lg 25_.答案1解析lg lg 25lg 4lg 253lg 100321.4.若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_.答案(
3、，1)(1，)解析由y(a21)x在(，)上为减函数，得0a211，1a22，即1a或a1.5.函数y823x(x0)的值域是_.答案0,8)解析x0，x0，3x3，023x238，0823x0，b0)；(2)()(0.002)10(2)1()0.解(1)原式ab1.(2)原式()()1()50010(2)11010201.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.(1)(0
4、.064)2.5 0_.(2)()_.答案(1)0(2)解析(1)原式1110.(2)原式.题型二指数函数的图像及应用例2(1)函数f(x)axb的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a1，b1，b0C.0a0D.0a1，b0(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_.答案(1)D(2)1,1解析(1)由f(x)axb的图像可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图像是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0，故选D.(2)曲线|y|2x1与直线yb的图像如图所示，由图像可知：如果|y|2x1与直线yb
5、没有公共点，则b应满足的条件是b1,1.思维升华(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断选项中的图像是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解.(1)在同一坐标系中，函数y2x与yx的图像之间的关系是()A.关于y轴对称 B.关于x轴对称C.关于原点对称 D.关于直线yx对称(2)已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A
6、.a0，b0，c0 B.a0C.2a2c D.2a2c2答案(1)A(2)D解析(1)yx2x，它与函数y2x的图像关于y轴对称.(2)作出函数f(x)|2x1|的图像，如图，abf(c)f(b)，结合图像知0f(a)1，a0，02a1.f(a)|2a1|12a1，f(c)1，0c1.12cf(c)，12a2c1，2a2c1.73 B.0.610.62C.0.80.11.250.2 D.1.70.3cb解析(1)A中， 函数y1.7x在R上是增函数，2.53，1.72.51.73，错误；B中，y0.6x在R上是减函数，10.62，正确；C中，(0.8)11.25，问题转化为比较1.250.1与
7、1.250.2的大小.y1.25x在R上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11,00.93.10.93.1，错误.故选B.(2)yx为减函数，即b01，ac，故acb.命题点2解简单的指数方程或不等式例4设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A.(，3) B.(1，)C.(3,1) D.(，3)(1，)答案C解析当a0时，不等式f(a)1可化为a71，即a8，即a3，因为03，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1可化为1，所以0a0且a1)是定义域为R的奇函数.(1)若f(1)0，试求不等式f(x22x)f(x4)0的解集；(2)若f(1)，且g
8、(x)a2xa2x4f(x)，求g(x)在1，)上的最小值.解因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，所以k10，即k1，f(x)axax.(1)因为f(1)0，所以a0，又a0且a1，所以a1.因为f(x)axln aaxln a(axax)ln a0，所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x22x)f(4x)，所以x22x4x，即x23x40，所以x1或x1或x4.(2)因为f(1)，所以a，即2a23a20，所以a2或a(舍去).所以g(x)22x22x4(2x2x)(2x2x)24(2x2x)2.令t(x)2x2x(x1)，则t(x)在(1，)为增函数(由(1)可知)
9、，即t(x)t(1)，所以原函数为(t)t24t2(t2)22，所以当t2时，(t)min2，此时xlog2(1).即g(x)在xlog2(1)时取得最小值2.思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.(2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.(1)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区
10、间2，)上是增函数，则m的取值范围是_.(2)若函数f(x)，其定义域为(，1，则a的取值范围是()A.a B.aC.a D.a0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a1.3.对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成.失误与防范1.恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来.2.复合函数的问题，一定要注意函数的定义域.3.对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0 (0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.A组专项基础训练(时间：40分钟)1.函数f(x)2|x1|的图像是()答案B解析|x1|0，f(x)1，排除C、
11、D.又x1时，|f(x)|min1，排除A.故选项B正确.2.已知函数f(x)则f(log27)的值为()A. B. C. D.答案B解析由于log24log27log28，即2log273，log272log2cb B.cabC.bac D.abc答案D解析a201，b1，cbc.4.若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A.(，2 B.2，)C.2，) D.(，2答案B解析由f(1)得a2，所以a或a(舍去)，即f(x)()|2x4|.由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减.故选B.5.设f
12、(x)|3x1|，cbf(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是()A.3c3b B.3b3aC.3c3a2 D.3c3a2答案D解析画出函数f(x)的图像，易知c0.又f(c)f(a)，|3c1|3a1|，13c3a1，3c3af(n)，则m、n的大小关系为_.答案mn解析a22a30，a3或a1(舍).函数f(x)3x在R上递增，由f(m)f(n)，得mn.8.已知函数f(x)2x，函数g(x)则函数g(x)的最小值是_.答案0解析当x0时，g(x)f(x)2x为单调增函数，所以g(x)g(0)0；当xg(0)0，所以函数g(x)的最小值是0.9.已知函数f(x)(1)若a1，求f(x)
13、的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值.解(1)当a1时，f(x)，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2).(2)令g(x)ax24x3，f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.10.已知函数f(x)exex(xR，且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t，使不等式f(xt)f(x
14、2t2)0对一切xR都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.解(1)f(x)exx，f(x)exx，f(x)0对任意xR都成立，f(x)在R上是增函数.f(x)的定义域为R，且f(x)exexf(x)，f(x)是奇函数.(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立，f(x2t2)f(tx)对一切xR都成立，x2t2tx对一切xR都成立，t2tx2x2对一切xR都成立，t2t(x2x)mint2t20，又20，20，t.存在t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立.B组专项能力提升(时间：25分钟)11.已知函数f(x)，
15、若对于任意a，b，cR，都有f(a)f(b)f(c)成立，则实数m的取值范围是()A. B.0,1C.1,2 D.答案A解析当m1时，f(x)1，显然满足题意.当m1时，令y，可得ex，由ex0得0，当m1时，有y(1，m)，即此时函数f(x)的值域为(1，m)，则f(a)f(b)2且f(c)m，要满足题意，则m2；当m2m且f(c)1，要满足题意，则2m1，即m.综上知，m2.故选A.12.已知函数f(x)x4，x(0,4)，当xa时，f(x)取得最小值b，则在直角坐标系中函数g(x)|xb|的图像为()答案B解析f(x)x4x15251，取等号时x1，此时x2.所以a2，b1，则g(x)|
16、x1|.g(x)的图像可以看作是y|x|的图像向左平移一个单位得到的，选项B符合要求.13.关于x的方程x有负数根，则实数a的取值范围为_.答案解析由题意，得x0，所以0x1，从而01，解得a.14.当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是_.答案(1,2)解析原不等式变形为m2mx，因为函数yx在(，1上是减函数，所以x12，当x(，1时，m2mx恒成立等价于m2m2，解得1m2.15.已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x).(1)求函数f(x)在(1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；(3)当取何值时，方程f(x)在(1,1)上有实数解？解(1)f(x)是xR上的奇函数，f(0)0.设x(1,0)，则x(0,1)，f(x)f(x)，f(x)，f(x)(2)设0x1x21，f(x1)f(x2)，0x1x21，2x1201，f(x1)f(x2)0，f(x)在(0,1)上为减函数.(3)f(x)在(0,1)上为减函数，f(x)，即f(x).同理，f(x)在(1,0)上时，f(x).又f(0)0，当，或0时，方程f(x)在x(1,1)上有实数解.