1、(建议用时：80分钟)1椭圆1(ab0)与直线xy10相交于P，Q两点，且OPOQ(O为原点)(1)求证：等于定值；(2)若椭圆的离心率e，求椭圆长轴长的取值范围(1)证明由消去y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0，直线与椭圆有两个交点，0，即4a44(a2b2)a2(1b2)0a2b2(a2b21)0，ab0，a2b21.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1 、x2是方程的两实根x1x2，x1x2.由OPOQ得x1x2y1y20，又y11x1，y21x2，得2x1x2(x1x2)10.式代入式化简得a2b22a2b2.2.(2)解利用(1)的结论，将a表示为e的函数由eb2
2、a2a2e2，代入式，得2e22a2(1e2)0.a2.e，a2.a0，a.长轴长的取值范围是，2已知椭圆1(a0，b0)的左焦点F为圆x2y22x0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为1. (1)求椭圆方程；(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M，证明：为定值(1)解化圆的标准方程为(x1)2y21，则圆心为(1,0)，半径r1，所以椭圆的半焦距c1.又椭圆上的点到点F的距离最小值为1，所以ac1，即a，则b2a2c21，故所求椭圆的方程为y21.(2)证明当直线l与x轴垂直时，l的方程为x1.可求得A，B.此时，.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1
3、)，由得(12k2)x24k2x2k220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为y1y2x1x2(x1x2)2k(x11)k(x21)(1k2)x1x2(x1x2)k2(1k2)k22.所以，综上得为定值，且定值为.3(2014北京卷)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解(1)由题意，知椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以
4、0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，且当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.4.(2014辽宁卷)圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)(1)求点P的坐标；(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：yx交于A，B两点若PAB的面积为2，求C的标准方程解(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S
5、.由xy42x0y0知当且仅当x0y0时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)(2)设C的标准方程为1(ab0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)由点P在C上知1，并由 得b2x24x62b20，又x1，x2是方程的根，因此由y1x1，y2x2，得|AB|x1x2|.由点P到直线l的距离为及SPAB|AB|2得b49b2180，解得b26或3，因此b26, a23(舍)或b23，a26.从而所求C的方程为1.5.如图，已知点E(m,0)(m0)为抛物线y24x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点(1)若m
6、1，k1k21，求EMN面积的最小值；(2)若k1k21，求证：直线MN过定点(1)解当m1时，E为抛物线y24x的焦点，k1k21，ABCD.设直线AB的方程为yk1(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y24y4k10，y1y2，y1y24.M，M，同理，点N(2k1，2k1)，SEMN|EM|EN|224，当且仅当k，即k11时，EMN的面积取得最小值4.(2)证明设直线AB的方程为yk1(xm)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y24y4k1m0，y1y2，y1y24m，M，M，同理，点N，kMNk1k2.直线MN的方程为yk1k2，即yk1k2(xm)2，
7、直线MN恒过定点(m,2)6(2015福建质量检查)在平面直角坐标系xOy中，椭圆：1(ab0)过点(2,0)，焦距为2.(1)求椭圆的方程；(2)设斜率为k的直线l过点C(1,0)且交椭圆于A，B两点，试探究椭圆上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由已知得a2，c，因为a2b2c2，所以b2a2c21，所以椭圆的方程为y21.(2)依题意得，直线l：yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设椭圆上存在点P(x0，y0)使得四边形OAPB为平行四边形，则由得(14k2)x28k2x4(k21)0，所以x1x2，y1y2k(x1x22)k.于是即点P的坐标为.又点P在椭圆上，所以21，整理得4k210，此方程无解故椭圆上不存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形.