1、第6课时函数的单调性(2) 教学过程一、 问题情境引入教材P23中函数起始课的第3个问题,气温是关于时间t的函数,记为=f(t).提出问题:观察这个气温变化图(如图1),你能求出函数的值域吗?通过观察你还能发现什么?3(图1)学生从图象上可以看出14时的气温为全天的最高气温,它表示在0至24时之间,气温于14时达到最大值9.从图象上看,图象在这一点的位置最高.同样可以看出4时的气温为全天的最低气温,它表示在0至24时之间,气温于4时达到最小值-2.二、 数学建构(一) 生成概念问题1如何用数学语言来刻画图1中的“气温于14时达到最大值”、“气温于4时达到最小值”?解可以看出:对于任意的x0,
2、24,都有f(x)f(14)=9;对于任意的x0, 24,都有f(x)f(4)=-2.问题2如何抽象出函数最大值的定义?一般地,设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximum value).思考你能仿照函数最大值的定义,给出函数y=f(x)的最小值(minimum value)的定义吗?一般地,设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小
3、值(minimum value).(二) 理解概念1. 函数最大(小)值的定义中的不等式f(x)M(f(x)M)必须对定义域中的任意x都成立,这说明函数的最值是函数全局的一个性质.2. 仅满足“对任意的xI,都有f(x)M(f(x)M)”,不能得出M是最大(小)值这一结论,必须同时满足“存在x0I,使得f(x0)=M”.针对这一点,可以举个生活中的例子,如:我们班上的任意一个同学的年龄肯定都小于等于100岁,那么能说我们班上的同学最大年龄是100岁吗?3. 函数的最大值不一定唯一,比如:这次数学考试,由于试卷比较简单,满分(160分)的同学有5个,那么这次考试成绩的最大值是多少?显然,最大值是
4、160分,且有五人取最大值.(三) 巩固概念问题3“即时体验”中的第2题有最大值、最小值吗?如果有,那么是多少?4解根据其函数图象可以发现:该函数没有最大值,但有最小值,最小值是0.三、 数学运用【例1】(教材P39例3)函数y=f(x), x-4, 7的图象如图所示,指出它的最大值、最小值及单调区间.5(见学生用书课堂本P21)(例1)处理建议在学生正确回答完本题后,教师还可以追问:“你能用刚学到的数学语言来描述这些结果吗?”让学生在实际的问题解决中加深对概念的理解与记忆.规范板书解观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3, 3),最低的点(-1.5, -2).所以当x=3时,函数y=
5、f(x)取得最大值,即ymax=3;当x=-1.5时,函数y=f(x)取得最小值,即ymin=-2.函数的单调增区间为-1.5, 3, 5, 6;单调减区间为-4, -1.5, 3, 5, 6, 7.题后反思本例是为了让学生体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系及其几何意义,引导学生通过函数的单调性研究最大(小)值,同时要考虑定义域为闭区间的函数在端点处的函数值的大小.变式(教材P40例5)已知函数y=f(x)的定义域是a, b, acb.当xa, c时,f(x)是单调增函数;当xc, b时,f(x)是单调减函数.试证明f(x)在x=c时取得最大值.处理建议引导学生逐步应用适当的数学概念及符
6、号语言进行推理和证明.如果学生从“数”的视角回答(利用单调性的定义),教师就引导学生尝试从“形”入手(画出满足题意的一个图象);如果学生从“形”的视角回答,则引导学生再从“数”的角度进行检验.规范板书证明因为当xa, c时,f(x)是单调增函数,所以对于任意xa, c,都有f(x)f(c).又因为当xc, b时,f(x)是单调减函数,所以对于任意xc, b,都有f(x)f(c).因此,对于任意xa, b都有f(x)f(c),即f(x)在x=c时取得最大值.题后反思本题没有涉及具体函数,求这类题目的最值可以从“形”与“数”两个方向切入:利用“形”直观判断,利用“数”具体验证.同时,要让学生体验函
7、数的单调性与函数最值的关系,感受量变和质变的辩证过程,并感受最值的奇异美.【例2】(教材P39例4)求下列函数的最小值:(1)y=x2-2x;(2)y=, x1, 3.(见学生用书课堂本P22)处理建议可以引导学生分别挑选用图象和用定义解决,但要注意图象的直观性无法代替数学的严谨性.规范板书(1) y=x2-2x=(x-1)2-1-1,且当x=1时y=-1, 函数取得最小值-1,即ymin=-1.(2) 对于任意实数x1, 3,都有,且当x=3时=, 函数取得最小值,即ymin=.题后反思这两个函数的最值也可以通过图象来解决.函数y=x2-2x没有最大值,但可以让学生讨论,看看题目怎样改可以有
8、最大值.变式求函数y=x2-2x+5, x-1, 2的值域.规范板书解y=(x-1)2+4, x-1, 2,由二次函数图象的性质可知:当x=1时,ymin=4;当x=-1时,ymax=8.故该函数的值域是4, 8.【例3】判断函数f(x)=x-, x(0, +)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.6(见学生用书课堂本P22)处理建议如果学生不能作出正确的判断,教师可以将题目进行分解,如可以先问:f1(x)=x, x (0, +)和f2(x)=-, x (0, +)这两个函数有单调性吗?若学生回答均是单调增函数时,再问:f(x)=f1(x)+f2(x), x(0, +)的单调性能确定吗?会用
9、定义证明吗?进而引导学生进一步地巩固函数单调性的概念.规范板书解f(x)=x-, x(0, +)是单调增函数.设x1, x2是(0, +)内的任意两个值,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-x2-=(x1-x2). 0x1x2, x1-x20. f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). f(x)=x-在(0, +)上是单调增函数.题后反思本题中的函数f(x)可视作函数y=x和y=-的和函数,这两个函数在(0, +)上都是单调增函数,f(x)也是(0, +)上的单调增函数.由此可见:如果两个函数在同一区间上都是单调增(减)函数,那么它们的和在该区间上也是单调增函数.变式判断函数f(
10、x)=x2-, x(0, +)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.处理建议引导学生模仿例3独立完成.规范板书函数 f(x)=x2-, x(0, +)是单调增函数.设x1, x2是(0, +)内的任意两个值,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1-x2)x1+x2+. 0x1x2, x1-x20. f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). f(x)=x2-在区间(0, +)上是单调增函数.题后反思本题中的函数f(x)也可视作函数y=x2和y=-的和函数,这两个函数在(0, +)上都是单调增函数,f(x)也是(0, +)上的单调增函数.一般地
11、,判断“f(x)=f1(x)+f2(x)”型函数的单调性,可以先分别判断f1(x), f2(x)的单调性,如果f1(x), f2(x)都是单调增函数,则f(x)亦为单调增函数;如果f1(x), f2(x)都是单调减函数,则f(x)亦为单调减函数.*【例4】(根据教材P45第13题改编)已知函数f(x)的定义域是F,函数g(x)的定义域是G,且对于任意的xG, g(x)F,试根据下表中所给的条件,用“单调增函数”、“单调减函数”、“不能确定”填空:f(x)g(x)f(g(x)f(x)+g(x)单调增函数单调增函数单调增函数单调减函数单调减函数单调减函数单调减函数单调增函数处理建议对于基础好的班级
12、,教师在学生正确回答后可以“追问”,如:你判断f(g(x)是单调增函数,能用定义证明吗?你判断f(x)+g(x)是单调减函数,能用定义证明吗?怎样证?你能举个具体的函数例子吗?等等.一方面,可以帮助学生巩固概念;另一方面,可以拓展学生的视野,提高学生演绎推理的能力.需要说明的是,这类题目学生初次接触,不宜增加定义域的限制,从而加深难度,要以判断为主.规范板书f(x)g(x)f(g(x)f(x)+g(x)单调增函数单调增函数单调增函数单调增函数单调增函数单调减函数单调减函数不能确定单调减函数单调减函数单调增函数单调减函数单调减函数单调增函数单调减函数不能确定题后反思 本题是对前两题判断函数单调性
13、的一种归纳,旨在提高学生运用数学符号、利用数学语言的能力,提高学生演绎推理的能力.对于判断函数f(g(x)的单调性,可以采用“换元法”,例如:“已知f(x)是单调增函数,g(x)是单调减函数,求证:f(g(x)是单调减函数.证明:对于y=f(g(x),设t=g(x), y=f(t).设x1, x2R,且 x1t2=g(x2). y=f(x)是单调增函数, f(t1)f(t2),即f(g(x1)f(g(x2). f(g(x)是单调减函数”. 视情况,还可以让学生判断f(x)g(x)与的单调性.变式求函数y=的单调区间.规范板书解函数的定义域为(-, -), +).y=可看成由y=, t=x2-2
14、复合而成的函数.因为t=x2-2在(-, 上单调递减,在, +)上单调递增,而y=是单调增函数,所以y=在(-, 上单调递减,在, +)上单调递增.即函数y=的单调减区间为(-, ,单调增区间为, +).四、 课堂练习 1. 求下列函数的最大值、最小值以及值域:(1) y=x2-4x+1;(2) y=x2-4x+1, x3, 4.解(1) y=x2-4x+1=(x-2)2-3-3,当x=2时,ymin=-3.函数无最大值,值域为-3, +).(2) 如图,由图象可知,函数在3, 4上单调递增,当x=3时,ymin=-2;当x=4时,ymax=1.函数的值域为-2, 1.(第1(2)题) 2.
15、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-, 4)上是单调减函数,则实数a的取值范围是a-3.提示借助图象得-4,解得a-3. 3. 若f(x)在R上是单调增函数,且a+b0,则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).(填“”或“=”)提示由a+b0得a-b, b-a,又 f(x)在R上是单调增函数, f(a)f(-b), f(b)f(-a), f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).五、 课堂小结 1. 函数最大(小)值及其几何意义. 2. 求函数最值的一般方法:对于熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等函数,可以先画出其图象,再根据函数的性质来求最值;对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数,可以先判断函数的单调性,再用定义证明,然后利用函数的单调性求出函数的最值. 3. 熟练掌握函数单调性的其他运用.
