1、课后限时集训(三十八)等比数列及其前 n 项和 建议用时：40 分钟一、选择题1等比数列 x,3x3,6x6，的第四项等于()A24 B0 C12 D24A 由 x,3x3,6x6 成等比数列，知(3x3)2x(6x6)，解得 x3 或 x1(舍去)所以此等比数列的前三项为3，6，12.故第四项为24，选 A.2已知在等比数列an中，a37，前三项之和 S321，则公比 q 的值是()A1B12C1 或12D1 或12C 当 q1 时，a37，S321，符合题意；当 q1 时，a1q27，a11q31q21，得 q12.综上，q 的值是 1 或12，故选 C.3(多选)设等比数列an的公比为
2、q，则下列说法正确的是()A数列anan1是公比为 q2 的等比数列B数列anan1是公比为 q 的等比数列C数列anan1是公比为 q 的等比数列D数列1an 是公比为1q的等比数列AD 对于 A，由anan1an1anq2(n2)知数列anan1是公比为 q2 的等比数列；对于 B，当q1 时，数列anan1的项中有 0，不是等比数列；对于 C，当 q1 时，数列anan1的项中有 0，不是等比数列；对于 D，1an11an anan11q，所以数列1an 是公比为1q的等比数列故选 AD.4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才
3、得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”则该人第五天走的路程为()A6 里B12 里C24 里D48 里B 记每天走的路程里数为an，由题意知an是公比为12的等比数列，由 S6378，得S6a11 126112378，解得 a1192，a519212412(里)故选 B.5(2020全国卷)数列an中，a12，amnaman，若 ak1ak2ak1021525，则 k()A2B3 C4D5C 令 m1，则由 amnaman，得 an1a1an，即an1an a12，所以
4、数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 an2n，所以 ak1ak2ak10ak(a1a2a10)2k21210122k1(2101)2152525(2101)，解得 k4，故选 C.6(2020宝山区一模)已知数列an是等比数列，其前 n 项和为 Sn，则下列结论正确的是()A若 a1a20，则 a1a30B若 a1a30，则 a1a20C若 a10，则 S2 0210D若 a10，则 S2 0200C A 错误，如数列：1,2，4，.BD 错误，如数列 1，2,4，.C 正确，当 q0 时，显然 S2 0210；当 0q1 时，及 q1 时“1q”与“1q2 021”同号，故
5、S2 0210；当 q1 时，显然 S2 0210，故 C 正确二、填空题7(2020浙江嘉兴模拟)已知 Sn 是等比数列an的前 n 项和，且 an0，S1a12，S3a322，则公比 q_，S5a5_.3 202 由题意得 2a12，a11.由 a1a1q2a1q222，得 q3 或72，an0，q72不合题意，故 q3，S5a5113513134202.8在 14 与78之间插入 n 个数组成等比数列，若各项之和为778，则此数列的项数为_5 设此等比数列为am，公比为 q，则该数列共有 n2 项1478，q1.由等比数列的前 n 项和公式，得778 1478q1q，解得 q12，an2
6、1412n2178，即12n1 116，解得 n3，该数列共有 5 项9各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2，S3n14，则 S4n_.30 由题意知公比大于 0，由等比数列性质知 Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，仍为等比数列设 S2nx，则 2，x2,14x 成等比数列由(x2)22(14x)，解得 x6 或 x4(舍去)Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为 2，公比为 2 的等比数列又S3n14，S4n1422330.三、解答题10(2020全国卷)设等比数列an满足 a1a24，a3a18.(1)求an的通项公式；(2)记 Sn 为
7、数列log3an的前 n 项和若 SmSm1Sm3，求 m.解(1)设an的公比为 q，则 ana1qn1.由已知得a1a1q4，a1q2a18.解得 a11，q3.所以an的通项公式为 an3n1.(2)由(1)知 log3ann1.故 Snnn12.由 SmSm1Sm3 得 m(m1)(m1)m(m3)(m2)，即 m25m60.解得 m1(舍去)，m6.11设数列an中，a11，a253，an253an123an，令 bnan1an(nN*)(1)证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：an253an123an，an2an123(an1an)，而 bnan1an
8、，bn123bn，又 b1a2a123，bn是首项为23，公比为23的等比数列(2)由(1)知 bn23 23n1 23n，anan1 23n1，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1123 232 23n11 23n12333 23n.1(多选)(2020山东枣庄期中)将 n2 个数排成一个如下所示的 n 行 n 列的数阵：该数阵第一列的 n 个数从上到下构成以 m 为公差的等差数列，每一行的 n 个数从左到右构成以 m 为公比的等比数列(其中 m0)已知 a112，a13a611，记这 n2 个数的和为 S，则下列结论正确的有()Am3Ba671737Caij(3i1)3j1D
9、S14n(3n1)(3n1)ACD 由该数阵第一列的 n 个数从上到下构成以 m 为公差的等差数列，每一行的 n个数从左到右构成以 m 为公比的等比数列，且 a112，a13a611，可得 a13a11m22m2，a61a115m25m，所以 2m225m1，解得 m3 或 m12(舍去)，所以选项 A 正确；a67a61m6(253)361736，所以选项 B 不正确；aijai1mj1a11(i1)mmj12(i1)33j1(3i1)3j1，所以选项 C 正确；S(a11a12a1n)(a21a22a2n)(an1an2ann)a1113n13a2113n13an113n1312(3n1)
10、23n1n214n(3n1)(3n1)，所以选项 D 正确故选 ACD.2.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有 1 023 个正方形，且其最大的正方形的边长为 22，则其最小正方形的边长为_132 由题意，得正方形的边长构成以 22 为首项，以 22 为公比的等比数列，现已知共得到 1 023 个正方形，则有 122n11 023，n10，最小正方形的边长为 22229 132.3结构不良试题在b4a3a5；b4b63a33a5；a2a3b4 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的 k
11、 存在，求出 k 的值；若 k 不存在，说明理由已知an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，bn是公比大于 0 的等比数列，b11，b3b22，b5a42a6，且_，设 cnb2Sn，是否存在实数 k，使得对任意的 nN*，都有ckcn?解 设数列an的公差为 d，bn的公比为 q(q0)，因为bn是公比大于 0 的等比数列，且 b11，b3b22，所以 q2q2，解得 q2(q1 不合题意，舍去)所以 bn2n1.若存在 k，使得对任意的 nN*，都有 ckcn，则 cn 存在最小值若选，则由 b5a42a6，b4a3a5 可得3a113d16，2a16d8，解得 d1，a11，所以Sn12
12、n212n，cnb2Sn212n212n4n2n.因为 nN*，所以 n2n2，所以 cn 不存在最小值，即不存在满足题意的 k.若选，由 b5a42a6，b4b63a33a5 可得3a113d16，6a118d40，解得 d1，a1293，所以 Sn12n2616 n，cnb2Sn123n261n.因为当 n20 时，cn0，当 n21 时，cn0，所以易知 cn 的最小值为 c2127.即存在 k21，使得对任意的 nN*，都有 ckcn.若选，则由 b5a42a6，a2a3b4 可得3a113d16，2a13d8，解得 d 817，a15617，所以 Sn4n252n17，cnb2Sn1
13、72n226n.因为 2n226n28，所以 cn 不存在最小值，即不存在满足题意的 k.1(2020宣城二模)将正整数排成如图所示：试问 2 020 是表中第_行的第_个数11 997 由题意得第 n 行有 2n1 个数，2022223242526272829121012 1 023，2022223242526272829210121112 2 047，2 020 是表中第 11 行的第 997 个数2结构不良试题设 Sn 为等比数列an的前 n 项和，已知满足_，求公比 q 以及 a21a22a2n.从a2a532 且 a3a44，a11 且 S69S3，S2a31 且 S3a41 这三组
14、条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答解 若选，则有 a2a5a3a432，故有 a3a432，a3a44，解得 a34，a48，或 a38，a44，即 q2或 q12.因为a2n是以 a21为首项，q2 为公比的等比数列，若 q2，a11，此时 a21a22a2n4n13；或 q12，a132，此时 a21a22a2n2123 114n.若选，S6S3S38，即 q38，故 q2.因为a2n是以 a21为首项，q2 为公比的等比数列，所以 a21a22a2n4n13.若选，S2a31(*)，S3a41(*)令(*)式减(*)式，得 a3a4a3，即 a42a3，故 q2.则(*)式中，a1a2a31，即 a12a14a11，即 a11.因为a2n是以 a21为首项，q2 为公比的等比数列，所以 a21a22a2n4n13.