1、第六讲解三角形A组基础巩固一、选择题1在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC(C)A.BC.D解析因为在ABC中，设ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得cos BAC，因为BAC为ABC的内角，所以BAC.故选C.2已知ABC中，A，B，a1，则b等于(D)A2B1C.D解析由正弦定理，得，所以，所以b.3在ABC中，c，A75，B45，则ABC的外接圆的面积为(B)A.BC2D4解析在ABC中，c，A75，B45，故C180AB60.设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R，解得R1，故ABC的外接圆的面积SR2.4在ABC中，a4，b8，A30，则此三角形的边角情况不
2、可能是(B)AB90BC120Cc4DC60解析，sin B1，B90，C60，c4.故选B.5(2020山东德州期中)下列关于正弦定理的叙述中不正确的是(B)A在ABC中，abcsin Asin Bsin CB在ABC中，若sin 2Asin 2B，则ABC在ABC中，若sin Asin B，则AB；若AB，则sin Asin BD在ABC中，解析对于A，在ABC中，由正弦定理可得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，所以abcsin Asin Bsin C，故A正确；对于B，若sin 2Asin 2B，则2A2B或2A2B，可得AB或AB，故B错误；对于C，若sin Asi
3、n B，根据正弦定理a2Rsin A，b2Rsin B，得ab，再根据大边对大角可得AB.若AB，则ab，由正弦定理a2Rsin A，b2Rsin B，得sin Asin B，故C正确；对于D，由，再根据比例式的性质可知D正确故选B.6在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a1，ccos Aacos C2bcos B，ABC的面积S，则b等于(A)A.B4C3D解析由题意可得，2sin Bcos Bsin Ccos Asin Acos Csin(AC)sin B，cos B，B.又Sacsin B1c，c4.又b2a2c22accos B11621413，b.7设ABC的三内角A，
4、B，C成等差数列，sin A，sin B，sin C成等比数列，则这个三角形的形状是(D)A直角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等边三角形解析ABC的三内角A，B，C成等差数列，B.sin A，sin B，sin C成等比数列，sin2Bsin Asin C，由正弦定理得b2ac.在ABC中，由余弦定理得b2a2c22accos ，aca2c2ac，(ac)20，ac.ABC为等边三角形8(2021河北武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2，解得b，根据以上信息，你认为下面哪个
5、选项可以作为这个习题的其余已知条件(B)AA30，B45BC75，A45CB60，c3Dc1，cos C解析由C75，A45可知B60，又，b，符合题意，故选B.二、填空题9(2021佛山模拟)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为千米解析ACB180756045，由正弦定理得，AC千米10已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin Asin B，则C.解析在ABC中，sin Asin B，ab.a2b2c2ab，cos C.C.11我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC的三个内
6、角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S，若a2sin C5sin A，(ac)216b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为_2_.解析a2sin C5sin A，a2c5a，即ac5，因为(ac)216b2，所以a2c2b2162ac6，从而ABC的面积为2，故答案为2.12(2021山西五校联考)如图，飞机的航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15，经过108 s后看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为_6_340_m(取1.732)解析108 s0.03 h，AB1 0
7、000.0330 km，C751560，BC，C到AB边的距离为hBCsin 7520sin 15sin 7510sin 30551.7328.66 km，山顶的海拔高度为(158.66)km6 340 m.三、解答题13(2021新高考八省联考)在四边形ABCD中，ABCD，ADBDCD1.(1)若AB，求BC；(2)若AB2BC，求cosBDC.解析(1)在ABD中，cosABD.ABCD，BDCABD.在BCD中，BC2BD2DC22BDDCcosBDC1212211，BC.(2)设BCx，则AB2x，cosABDx.在BCD中，BC2BD2DC22BDCDcosBDC，x2112x，x
8、22x20，解得x1.cosBDCcosABDx1.14(2020北京，17,13分)在ABC中，ab11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和ABC的面积条件：c7，cos A；条件：cos A，cos B.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分解析若选条件：(1)ab11，b11a，已知c7，cos A，由余弦定理a2b2c22bccos A，得a2(11a)2722(11a)7，解得a8.(2)cos A，sin A.，sin C.又b11a1183，SABCbcsin A376.若选条件：(1)cos A，sin A.cos B，s
9、in B.由正弦定理，得，5a6b，又ab11，a6.(2)由(1)可得b11a5.sin Csin (AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B，SABCabsin C65.B组能力提升1(2020课标，11,5分)在ABC中，cos C，AC4，BC3，则tan B(C)A.B2C4D8解析解法一：由余弦定理及cos C，AC4，BC3，知AB3，于是cos B0，所以sin B，所以tan B4，故选C.解法二：作BDAC于D，由cos C，BC3，知CD2，即D为边AC的中点，所以三角形ABC是等腰三角形，且BD，于是tan ，故tan B4，故选C.2(2020湖南
10、四校摸底调研)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1，则C(B)A.BC.D解析由正弦定理及1，得1，整理可得a2b2c2ab，由余弦定理得cos C，又C(0，)，所以C.故选B.3(理)(2020广东中山期末)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下面条件的三角形不一定是直角三角形的是(B)Asin Asin Bsin C(cos Acos B)B.Ccos2Dacos Bbcos Ac(文)(2020山东临沂一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2，c3，A3C，则下列结论正确的是(D)Acos CBsin BCa3DSABC解析(理)本题
11、考查正弦定理、余弦定理的应用对于A，sin Asin Bsin C(cos Acos B)，由正弦定理角化边得abc(cos Acos B)，由sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C得abcos Cccos B，同理得bacos Cccos A，代入上式整理得ccos Bbcos Cacos Cccos Ac(cos Acos B)，即(ab)cos C0，因为ab0，所以cos C0，则C，故A正确；对于B，可知当三角形为等边三角形时，等式同样成立，故B错误；对于C，cos2，根据半角公式有，即ccos Ba，即ccos Bccos Bbcos C，整理得bcos
12、C0，因为b0，所以cos C0，即C，故C正确；对于D，acos Bbcos Ac，由A知在任意的三角形中都有acos Bbcos Ac，所以两式相减可得bcos A0，因为b0，所以cos A0，即A，故D正确，故选ACD.(文)本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式A3C，故B2C.根据正弦定理，得2sin C32sin Ccos C，又sin C0，故cos C，sin C，故A错误；sin Bsin 2C2sin Ccos C，故B错误；由余弦定理得c2a2b22abcos C，将b2，c3代入得a24a3 0，解得a3或a1.若a3，则AC，且B，与sin B矛盾，故a1，故C
13、错误；SABCabsin C12，故D正确故选AD.4如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为.解析由ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sin ACBsin BAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cos ACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cos ACBcos 30sin ACBsin 30.5(2020课标，17,12分)ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值解析(1)由正弦定理和已知条件得BC2AC2AB2ACAB.由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos A由得cos A.因为0A，所以A.(2)由正弦定理及(1)得2，从而AC2sin B，AB2sin(AB)3cos BsinB故BCACAB 3sin B3cos B32sin.又0B，所以当B时，ABC周长取得最大值32.