1、高考大题规范解答系列(一)函数与导数1(2021新高考八省联考)已知函数f(x)exsin xcos x，g(x)exsin xcos x.(1)证明：当x时，f(x)0；(2)若g(x)2ax，求a.解析(1)当x时，f(x)exsinex0；当x时，f(x)excos为增函数且f(0)0，f(x)在减，在上增，因此f(x)f(0)0，恒有f(x)0；当x时，f(x)excos，exe，f(x)0，f(x)在上为增函数，f(x)fesin0；综上所述：当x时，f(x)0成立(2)由已知得exsin xcos x2ax0，设h(x)exsin xcos x2ax且h(0)0.h(x)h(0)，
2、0是h(x)的一个最小值点，也是一个极小值点，h(0)0，即e0cos 0sin 0a0，a2.2(2020黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期开学考试)设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，求实数a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求实数a的取值范围解析(1)对f(x)求导得f(x).因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，由f(x)0,0x2；f(x)0有x2，故a0时，f(x)在x0处取得极值，f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程y(x
3、1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x)，令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1x0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解析本题考查利用导数求函数的单调区间与最值(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以当3x0
4、，即f(x)0；当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数yf(x)在区间5，)上的最大值是5e5.4(2021陕西咸阳模拟)已知函数f(x)ax2ln x(a0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x).若f(x)的极小值为，证明：当x0时，f(x)g(x)(其中e2.718 28为自然对数的底数)解析本题考查利用导数判断函数的单调性以及证明不等式问题(1)解：由题可知f(x)的定义域为(0，)，f(x)axln xaxax(2ln x1)，令f(x)0，解得xe，当0xe时，f(x)e时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)的单调递减区间为(0，e)，单调递增区间为(e
5、，)(2)证明：g(x)，g(x)，当x(0,2)时，g(x) 0，g(x)单调递增；当x(2，)时，g(x)0时，g(x)maxg(2).由题及(1)知f(x)min，g(x)max，即f(x) g(x)5(理)已知函数f(x)ln xa2x2ax(a1)(1)证明：函数f(x)在区间(1，)上是减函数；(2)当a1时，证明：函数f(x)只有一个零点(文)(2020山东师大附中期中)已知函数f(x)x3ax2bxc，x1,2，且函数f(x)在x1和x处都取得极值(1)求实数a与b的值；(2)对任意x1,2，方程f(x)2c存在三个实数根，求实数c的取值范围证明(理)(1)由题易得函数f(x)
6、ln xa2x2ax的定义域为(0，)，f(x)2a2xa.a1，x1，2ax10，ax10，f(x)0，x舍去当0x0；当x1时，f(x)0.函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减当x1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)ln 11210.当x1时，f(x)f(1)，即f(x)0，函数f(x)只有一个零点(文)(1)f(x)3x22axb，由题意可知解得，经检验，适合条件，所以.(2)原题等价于函数yf(x)与函数y2c的图象存在三个交点，由(1)知f(x)3x2x2(3x2)(x1)，x11(1,2)2f(x)极大值极小值f(x)cccc2由图知x1,2时，
7、应有c2cc，c0时，若关于x的方程f(x)g(x)0存在两个正实数根，证明：ae2.(文)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.破题思路(文)第(1)问求什么想什么求f(x)的单调区间与极值，想到求导函数f(x)，然后利用不等式f(x)0及f(x)x22ax1(aln 21，x0)成立，想到证明exx22ax10成立给什么用什么通过对第(1)问的研究，求得f(x)ex2x2a的单调性与极值，仔细观察，可发现(exx22ax1)ex2x2a缺什么找什么需要研究函数g(x)exx22ax1的单调性或最值
8、，利用导数研究即可解析(理)本题考查导数的几何意义和利用导函数讨论函数单调性、零点等问题(1)解：f(x)ex，f(0)3.又f(0)1，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y13x，即3xy10.(2)证明：由f(x)g(x)0存在两个正实数根，整理得方程exa(x1)(x1)存在两个正实数根记这两个正实数根为x1，x2(x10，知x2x11，令h(x)exaxa，则h(x)在(1，)上有两个零点，令h(x)exa0，则xln a.当1ln a，即0ae时，可知h(x)在(1，)上单调递增，所以在(1，)上不可能有两个零点，不符合题意当1e时，可知h(x)在(1，ln a)上单调递
9、减，在(ln a，)上单调递增，h(x)minh(ln a)2aaln ah(x)exaxa有两个零点且h(1)e0，2aaln a0，2ln ae2.(文)(1)由f(x)ex2x2a(xR)，知f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.当xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0，故函数f(x)在区间(ln 2，)上单调递增所以f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a，无极大值(2)证明：要证当aln 21且x0时，exx22ax1，即证当aln 21且x0时，exx22
10、ax10.设g(x)exx22ax1(x0)则g(x)ex2x2a，由(1)知g(x)ming(ln 2)22ln 22a.又aln 21，则g(x)min0.于是对xR，都有g(x)0，所以g(x)在R上单调递增于是对x0，都有g(x)g(0)0.即exx22ax10，故exx22ax1.7(2020全国，20)已知函数f(x)x3kxk2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围解析本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点个数问题(1)f(x)3x2k.当k0时，f(x)x3，故f(x)在(，)单调递增；当k0，故f(x)在(，)单调递增当k0时，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在，单调递增，在单调递减(2)由(1)知，当k0时，f(x)在(，)单调递增，f(x)不可能有三个零点当k0时，x为f(x)的极大值点，x为f(x)的极小值点此时，k1k1且f(k1)0，f0.根据f(x)的单调性，当且仅当f0，即k20时，f(x)有三个零点，解得k，因此k的取值范围为.
