1、巧用导数法，妙解高考函数题四川省阆中市水观中学 李葆春 637423新编高中数学教材（试验修订本）在选修（I）、选修（II）中均增加了导数的内容。这一内容的增加。为研究有关函数的问题开辟了一条新的途径。从近几年全国高考新课程卷的命题来看，利用导数求函数的单调区间、极大（小）值，求函数在闭区间上的最大（小）值或利用导数解决一些实际应用题等已成为高考命题的一个新的热点。以下拟从几方面举例说明导数法在解函数问题中的应用。一. 求函数的解析式 例1. 设为三次函数，且图象关于原点对称，当时，的极小值为，求函数的解析式。解：设，因为其图象关于原点对称，即，得由，依题意，解之，得故所求函数的解析式为二.
2、求函数的单调区间 例(06年重庆高考)已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数.（）若b24(a-1),讨论函数f(x)的单调性；（）若b24(c-1),且=4,试证：6b2.解：（）求导得f2(x)=x2+(b+2)x+b+cex.因b24(c-1),故方程f2(x)=0即x2+(b+2)x+b+c=0有两根；x1=x2=令f（x）0，解得xx1或xx1；又令f（x）0，解得x1xx2.故当x（-, x1）时，f(x)是增函数，当 x（x2，+）时，f(x)也是增函数，但当x（x1 ， x2）时，f(x)是减函数.（）易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此.所以，由已知
3、条件得 b+e=4 b24(e-1),因此b2+4b-120.解得-6b2.（06年湖北卷）设是函数的一个极值点。（）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。三. 求函数的极值 例（06年安徽卷）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有（）证明；（）证明 其中和均为常数；（）当（）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值。证明（）令，则，。（）令，则。假设时，则，而，即成立。令，假设时，则，而，即成立。成立。（）当时，令，得；当时，是单调递减函数；当时，是单调递增函数；所以当时，函数在内取得极小值，极小值为四. 求函数的最值 例5. 求函数的最大
4、值与最小值。分析：函数在某个闭区间上的最大（小）值是这个函数在此区间的极大（小）值以及区间端点函数值中的最大（小）值。解：由，得，而此方程无实根，故知f(x)在区间-1，1内无极值点，而对一切实数x恒大于零，即f(x)在-1，1上是增函数，最大值是，最小值是。 例6. （2000年上海高考题）已知函数，当时，求函数的最小值。解：当时，。由，当时，函数是增函数 ，于是当x=1时，取最小值。五. 求函数的值域 例7. 求函数的值域。分析：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易
5、。解：由得，即函数的定义域为，又，当时，函数在上是增函数，而，的值域是。六. 证明不等式 例8. 当x0时，证明不等式。分析：本例所给不等区属超越不等式，用常见不等式的证明方法难以奏效。因此通过构造函数，研究其单调性来证明。证明：设，可求得其定义域为。由时，）可知，在上是增函数。又，即故对一切都成立。 例9. （2001年全国高考题）已知i，m，n是正整数，且，证明。分析：标准答案中是运用二项式定理证明的，这里通过构造函数用导数法证明亦属易事。证明：且i，m，n为整数， 。设，则。由知，是单调递减函数又，故有。七. 求参数的取值范围 例10. （06年陕西卷）已知函数f(x)=kx33x2+1
6、(k0).()求函数f(x)的单调区间;()若函数f(x)的极小值大于0, 求k的取值范围.I）当k=0时, f(x)=3x2+1 f(x)的单调增区间为(,0,单调减区间0,+).当k0时 , f (x)=3kx26x=3kx(x)f(x)的单调增区间为(,0 , , +), 单调减区间为0, .（II）当k=0时, 函数f(x)不存在最小值.当k0时, 依题意 f()= +10 , 即k24 , 由条件k0, 所以k的取值范围为(2,+)八. 解实际应用题（06年福建）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0x12
7、0).已知甲、乙两地相距100千米。（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分12分.解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,要耗油(.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，衣题意得h(x)=(),h(x)=(0x120令h(x)=0，得x=80.当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数;当x(80,120)时，h(x)0,h(x)是增函数.当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.