1、忽视不等式隐含条件致误设，若12,24，则的取值范围是_【错解】由得，得：， 得：.由此得4=4a2b11，所以的取值范围是4,11【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了的范围扩大【试题解析】解法一：设=mn(m、n为待定系数)，则4a2b=m(ab)n(ab)，即4a2b=(mn)a(nm)b，于是得，解得.=3又12,24，5310，即510.解法二：由，得，=4a2b=3又12,24，5310，即510.解法三：由题意，得，确定的平面区域如图中阴影部分所示.当=4a2b过点时，取得最小值；当=4a2b过点B(3,1)时，取得最大值4321=10，510.【答案】（
2、1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围1已知实数，满足，则的取值范围是ABCD【答案】B【解析】解：令，,则又，因此，故选B.【名师点睛】本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键. 忽略不等式性质成立的条件给出下列命题：若,则；若，则；若且,则；若,则.其中正确命题的序号是 .【错解】,又,则，故正确；当时，,故不正确；正确；由知,，故,故不正确.故填.【错因分析】忽略了不等式性质成立的条件；中的推论显然不正确.【试题
3、解析】当ab0时，不成立，故不正确；当cb不成立,故不正确；当a=1,b=2,k=2时，命题不成立，故不正确；由ab0ab00cacb,两边同乘以,得,又,故正确.故填.【答案】不等式的性质的几点注意事项(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的如ab，bcabac2bc2；若无c0这个条件，abac2bc2就是错误结论(当c0时，取“”)(3)“ab0anbn(nN*，n1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，ab0”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n1，a3，b2，那么就会出现“3121”的错误结论；假如去掉“b0”这个条件，取a
4、3，b4，n2，那么就会出现“32(4)2”的错误结论2若非零实数满足，则下列不等式成立的是ABCD【答案】C【解析】A, 不一定小于0，所以该选项不一定成立；B,如果a0，b0时， 不成立，所以该选项不一定成立；C, ，所以，所以该不等式成立；D, 不一定小于0，所以该选项不一定成立.故选：C【名师点睛】本题主要考查不等式性质和比较法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.忽略对二次项系数的讨论导致错误已知关于x的不等式mx2mxm10恒成立，则m的取值范围为_【错解】由于不等式mx2mxm10对一切实数x都成立，所以m0且m24m(m1)0，解得m0故实数m的取
5、值范围为(，0)【错因分析】由于本题中x2的系数含有参数，且当m0时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论m的值是否为0而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解【试题解析】由于不等式mx2mxm10对一切实数x都成立，当m0时，10恒成立；当m0时，易知m0且m24m(m1)0，解得m0综上，实数m的取值范围为(，0【答案】(，0解一元二次不等式的一般步骤一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判：计算对应方程的判别式三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集3若不等式对实数恒成立，则
6、实数的取值范围是A或BCD【答案】C【解析】由题得时，x0，与已知不符，所以.当m0时，所以.综合得m的取值范围为.故选C.【名师点睛】不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，或当时，；不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，或当时，解不等式恒成立问题的技巧(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.解含参不等式时不能
7、正确分类导致错误解不等式【错解】原不等式可化为，即，等价于，即，因为，所以当，即或时，；当，即时，；当，即时，综上，当或时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或【错因分析】显然当a0时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的实际上错解中的变形非同解变形，因为a1的符号是不确定的，错解中仅考虑了当a10时的情况【试题解析】显然当时，原不等式是不成立的当a0时原不等式可化为，即，等价于(*)，当时，(*)式可转化为，即，即当时，(*)式可转化为当时，(*)式可转化为又当时，所以当或时，；当时，综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式
8、的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小在不等式转化的过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出错4已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求解集；（2）若，解不等式的解集.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）.不等式的解集为， 的解集为.（2）时，不等式，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时时，不等式的解集为.不能准确把握目标函数的几何意义致误设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x2y的最小值为A5 B4C2 D3【错解】不等式
9、组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线z=3x2y平移到过点(1,0)时取得最小值，即zmin=3120=3.故选D.【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z”跟“截距”画上等号，没有正确理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相应地导致目标函数的最小值求解错误【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线3x2y=z平移到过点(0,2)时，z=3x2y的值最小，最小值为4，故选B.形如z=AxBy(B0)，即，为该直线在y轴上的截距，z的几何意义就是该直线在y轴上截距的B倍，至于z与截距能否同
10、时取到最值，还要看B的符号5若实数x，y满足，则的最大值是A B0 C3 D4【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z=x-y，得y=x-z，平移直线y=x-z，由图象可知当直线y=x-z经过点B(3,0)时，直线y=x-z的截距最小，此时z最大此时z的最大值为z=3-0=3，故选C.忽略等号成立的一致性导致错误若x0，y0，且x2y1，则的最小值为_【错解】因为x0，y0，所以1x2y，即8xy1，即xy，故8因为，所以故的最小值为【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x2y，但这两次取“”需满足x2y与xy，互相矛盾，所以“”不能同时取到，从而导致错误
11、【试题解析】因为x2y1，x0，y0，所以，当且仅当，即，即时取等号故的最小值为连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立6若正数满足，则的最大值为A BC D【答案】A【解析】因为，化简可得，左右两边同时除以xy得.求的最大值，可先求的最小值.因为，当且仅当时取等号.所以的最大值为.故选A.【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题.一、不等关系与不等式1比较大小的常用方法（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论
12、注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.（3）介值比较法：介值比较法的理论根据是：若ab,bc,则ac，其中b是a与c的中介值. 介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.2不等式的性质及应用（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.（2）解决此类问题常用的
13、两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件3求代数式的取值范围的一般思路（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.二、一元二次不等式及其解法1解一元二次不等式的一般步骤（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式（2）二判：计算对应方程的判别式（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根（4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不
14、等式的解集2解含有参数的一元二次不等式的步骤（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式（2）判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.3解不等式恒成立问题的技巧（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值即若在定义域内存在最大值，则(或)恒成立(或);若在定义域内存在最小值，则(或)恒成立
15、(或);若在其定义域内不存在最值，只需找到在定义域内的最大上界(或最小下界)，即在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的，只是等号均可以取到.（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.4已知不等式的解集求参数的解题方法已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为:（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号;（2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解.5简单分式不等式的解法若与是关于的多项式，则不等式(或0，或0，或0
16、)称为分式不等式解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解即;.对于形如a(或a)的分式不等式，其中a0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解. 6简单高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式解高次不等式常用的方法有两种： （1）将高次不等式中的多项式分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集（2）穿针引线法：将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积
17、； 求出各因式的实数根，并在数轴上标出； 自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集三、简单的线性规划问题1画二元一次不等式表示平面区域的一般步骤为：第一步，“直线定界”，即画出边界，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点作为测试点，由的符号就可以断定表示的是直线哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域.2复杂不等式(组)表示的平面区域高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式(组)，从而画出这些不等式(组)表示的平面区域.对于含绝对值的不等式表示的
18、平面区域的作法：先分情况讨论去掉绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为一般的二元一次不等式(组)，然后按照“直线定界，特殊点定域”的方法作出所求的平面区域.3求平面区域面积问题的步骤（1）画出不等式组表示的平面区域. （2）判断平面区域的形状(三角形区域是比较简单的情况)，求出各边界交点的坐标. （3）若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式.4简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出
19、可行域和直线 (目标函数为)；（2）移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点；（3）求：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；（4）答：给出正确答案5解答线性规划实际应用题的步骤（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案6求线性目标函数最值的两种方法（1）平移直线法：作出可行域,正确理解z的几何意义，确定目标函
20、数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点. （2）顶点代入法：依约束条件画出可行域;解方程组得出可行域各顶点的坐标;分别计算出各顶点处目标函数的值，经比较后得出z的最大(小)值. 求解时需要注意以下几点：（）在可行解中，只有一组(x,y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.（）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.（）可行域一边开放或边界线为虚线
21、均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.四、基本不等式1利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形手段有拆、并、配.（1）拆裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. （2）并分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值. （3）配配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应
22、用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.注意：基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到分子、分母有一个一次，一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值.取倒数以应用基本不等式是对分式函数求最值的一种常见方法.2有关函数最值的实际问题的解题技巧（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.1已知集合，则ABCD【答案】A【解析】，又
23、，.故选A【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.2设全集，集合，则ABCD【答案】A【解析】由，解得，故，所以，故选A.3已知，下列不等式成立的是ABCD【答案】D【解析】由题意，对于A中，由，知， ，故本选项错误 对于B中，由，知，故本选项错误 对于C中，由，知，故本选项错误 对于D中，由，知， ，则，即故本选项正确 故选：D【名师点睛】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理准确推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是ABCD【答案】D【解析】不等式的解集是，即，恒成立，当，当时，因为，当且仅
24、当等号成立，所以故选：D5任意正数x，不等式恒成立，则实数a的最大值为A1BCD【答案】C【解析】，又（当且仅当取到等号），.【名师点睛】本题主要考查了含参数不等式恒成立时参数的取值范围，常用的方法有分离参数法，再结合基本不等式，转化成求最值的问题.6设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A2B3C5D6【答案】C【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值.由，得，所以.故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点
25、间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围即：一画，二移，三求7若，则“”是 “”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.8已知m,n(0,+),若m=mn+2,则当m22+2n2-4m-2n取得最小值时,m+n=A2 B4C6
26、D8【答案】C【解析】因为m=mn+2,所以mn=m+2n,m22+2n2-4m-2n=m22+2n2-2,下面只需求解m22+2n2的最小值即可.因为mn=m+2n22mn,故mn8,又m22+2n2mn=8,当且仅当m=2n=4时,等号成立,此时m+n=6.9设实数x,y满足x-y-20x+2y-40x0,则x2+y2的最小值为A4 B165 C689 D0【答案】B【解析】画出可行域如图所示,则目标函数x2+y2的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方,所以x2+y2的最小值为165,故选B10记不等式组表示的平面区域为D命题；命题下面给出了四个命题这四个命题中，所有真命题的编号是ABC
27、D【答案】A【解析】根据题中的不等式组可作出可行域，如图中阴影部分所示，记直线，由图可知，所以p为真命题，q为假命题，所以为假命题，为真命题，所以为真命题，为假命题，为真命题，为假命题，所以所有真命题的编号是.故选A.【名师点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断.11已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为A BC D【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大代入目标函数得，即则，当且仅当时取等号，故选B【名师点睛】本题主要考查线性规划以及基本不等式
28、的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法首先作出不等式组对应的平面区域，再利用目标函数的几何意义，求最大值，然后根据基本不等式的性质进行求解即可12已知关于x的不等式x24ax6a20)的解集为(x1,x2),则x1x2ax1x2的最小值是A63 B233 C236 D433【答案】C【解析】由题意可知,x1,x2是方程x24ax6a2=0两个根,则x1+x2=4a,x1x2=6a2,所以x1x2ax1x2=4a+16a236,当且仅当a=612时,等号成立.13若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】函数的定义域为，对任意恒成立，当时，
29、不等式化为，对任意不恒成立；当时，则，解得，综上，实数的取值范围是故答案为.【名师点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题14实数满足能说明“若的最大值是，则”为假命题的一组值是_【答案】（2，2）（答案不唯一）【解析】实数x，y满足的可行域以及x+y=4的直线方程如图能说明“若z=x+y的最大值为4，则x=1，y=3”为假命题的一组（x，y）值是（2，2）（线段上的点均符合题意）故答案为：（2，2）（答案不唯一）【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键15已知a是任意实数,则关于x的不等式(a2-a+2017)x2(a2
30、-a+2017)2x+3的解集为 .【答案】x|-1x1,(a2-a+2017)x2(a2-a+2017)2x+3,即x22x+3,解得-1x0,n0,若2m=1-2n,则3m+27n的最小值为 .【答案】96【解析】因为2m+2n=1, m0,n0,所以3m+27n=3m+27n2m+2n=610+nm+9mn610+2nm9mn=96,当且仅当nm=9mn,即m=18,n=38时,等号成立.18已知实数x,y满足不等式组x-y+20,x+y-40,2x-y-50,则z=x2+y2-10y+25的最大值为 .【答案】65【解析】作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示,因为z=x2+y
31、2-10y+25=(x-0)2+(y-5)2的几何意义表示可行域中的点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方.结合图象易知点C到点M的距离最大,由x-y+2=0,2x-y-5=0,得C(7,9),则zmax=(7-0)2+(9-5)2=65.19设实数x,y满足x-y-20,x+2y-50,y-20,则u=y2-x2xy的取值范围是 .【答案】-83,32【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.其中A(3,1),B(1,2),C(4,2),yx表示动点(x,y)与原点连线的斜率,因为x,y0,所以当yx取最大(小)值时,xy取最小(大)值,由图可知当(x,y)=(1,2)时,(yx
32、)max=2,同时(xy)min=12,所以umax=(yx)max-(xy)min=32,当(x,y)=(3,1)时,(yx)min=13,同时(xy)max=3,所以umin=(yx)min-(xy)max=-83,所以u的取值范围是-83,32.20在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取
33、得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.21李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_【答案】130 ；15.【解析】（1）,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为
34、,符合要求.元时,有恒成立,即,即元.所以的最大值为.【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质数学的应用意识数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.22已知实数，满足，则的最大值是_【答案】【解析】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示：其中，又，可知的几何意义为可行域中的点到直线距离的倍可行域中点到直线距离最大的点为.，故填.【名师点睛】本题考查利用线性规划求解最值的问题，关键是能够明确目标函数所表示的几何意义，利用数形结合来进行求解23已知，若点在直线上，则的最小值为_.【答案】【解析】在上，设，则，当，即时，“=”成立，即
35、的最小值为，故答案为.【名师点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.24某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:每件A产品每件B产品研制成本、搭载试验费用之和(万元)2030产品重量(千克)105预计收益(万元)8060已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益是多少?【答案】960万元【解析】设搭载A产品x件,B产品y件,则预计收益z=80x+60y,由题意知,作出可行域如图所示.作出直线l:80x+60y=0并平移,由图形知,当直线经过点M时,z取得最大值,由解得即M(9,4).所以zmax=809+604=960(万元),所以搭载9件A产品,4件B产品,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益为960万元.