1、灌南华侨双语学校20172018学年度第二学期期中考试高二数学试卷（理科）（分值160分， 时间120分钟）一填空题：（70分）1.复数_2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重00 001频率/组距2. 计算_3. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在的频率为 (第3题)4. 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 5. 从编号为的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为4的样本，若编号为28的产品在此样本中，则这样的样本中产品的最大编号为 6. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5
2、，则该组数据的方差为 7. .已知矩形的长为10，宽为5（如图所示），在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在图中椭圆内的黄豆为560颗，则可以估计图中椭圆部分的面积为 .8. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是 (填序号)“至少有一个黑球”与“都是黑球”；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”；“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”；“至少有一个黑球”与“都是红球”9.已知4名同学报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人只选报1项，则不同的报名方法有 种 10.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （用数字回答） 11. 用数
3、学归纳法证明：，则当时，左端在时的左端加上了 12. 一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,则其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率 . 13.2018年4月18日， 我国航空母舰“辽宁舰”在台湾海峡实弹演习中，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则编队配置分配方案的方法数为 (用数字作答) 14用数学归纳法证明：“1n(n1)”，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项的项数是 .二填空题：（14+14+14+16+16+16）15. 设复数（，是虚数单位），且复数满足，复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上
4、.求复数；(2)若为纯虚数(其中）,求实数的值.16有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用表示结果，其中表示第1颗出现的点数（面朝下的数字），表示第2颗出现的点数（面朝下的数字）.（1）求事件“点数之和不小于4”的概率；（2）求事件“点数之积能被2或3整除”的概率. 17.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组230，235）80.16第二组235，240）0.24第三组240，245）15第四组245，250）100.20第五组250，25550.10合 计50
5、1.00（1）写出表中位置的数据；（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率18. （本小题满分16分）如图华侨高级中学2016年校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图.（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；甲乙78994 4 4 6 739 7 6 6 43 2（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？19.
6、已知数列an满足a1=1，且4an+1anan+1+2an=9（nN*）（1）求a1，a2，a3，a4的值；（2）由（1）猜想an的通项公式，并给出证明 20.是否存在常数a、b，使等式对于一切nN*都成立.灌南华侨双语学校20172018学年度第二学期期中考试高二数学试卷（理科）（分值160分， 时间120分钟）一填空题：（70分）1.复数_【答案】【解析】2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重00 001频率/组距2. 计算_ 【答案】3. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在的频率为_ 答案为：0.3 (第3题)4. 从1，2，3，4这
7、四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 【答案】 5. 从编号为的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为4的样本，若编号为28的产品在此样本中，则这样的样本中产品的最大编号为_【答案】686. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差为_【答案】0.17. .已知矩形的长为10，宽为5（如图所示），在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在图中椭圆内的黄豆为560颗，则可以估计图中椭圆部分的面积为_.【答案】288. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是_(填序号)“至少有一个黑球”与“都是黑球”；“
8、至少有一个黑球”与“至少有一个红球”；“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”；“至少有一个黑球”与“都是红球”答案为： (3)9.已知4名同学报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人只选报1项，则不同的报名方法有 种 答案为：8110.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （用数字回答） 答案为：7212. 用数学归纳法证明：，则当时，左端在时的左端加上了 答案为：k21)(k22) (k1)2 12. 一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,则其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率_. 答案为： 13.2018年4月18日， 我国航空母舰“辽宁舰”在台湾海峡
9、实弹演习中，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则编队配置分配方案的方法数为_(用数字作答) 答案为：3214用数学归纳法证明：“1n(n1)”，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项的项数是_.【解析】当nk1时，左边是1增加的是，共有2k112k12k项，故左边应增加的项的项数是2k.【答案】2k二填空题：（14+14+14+16+16+16）15. 设复数（，是虚数单位），且复数满足，复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.求复数；(2)若为纯虚数(其中）,求实数的值.试题解析：设，由得：.111.Com又复数在
10、复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则即. 由联立方程组,解得,或，.由,可得,为纯虚数， 解得. 16有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用表示结果，其中表示第1颗出现的点数（面朝下的数字），表示第2颗出现的点数（面朝下的数字）.（1）求事件“点数之和不小于4”的概率；（2）求事件“点数之积能被2或3整除”的概率.解（1）所有的基本事件为（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）
11、，共16个“点数之和不小于4”包含的基本事件为（1,3），（1,4），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）共13个，所以P（点数之和不小于4）=（2）“点数之积不能被2或3整除”的对立事件只含一个基本事件（1,1）所以P（点数之积能被2或3整除）=答：略 17.（14分）质检部门抽查某批次产品的质量（单位：克），随机检查了其中80件产品，根据样本数据描绘的频率分布直方图如下：（1） 求频率分布直方图中的值；（2） 若质量在5.95,6.95)中的产品才算一级品，求在抽查的样本中一级产品共有多少件？某高
12、校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组230，235）80.16第二组235，240）0.24第三组240，245）15第四组245，250）100.20第五组250，25550.10合 计501.00（1）写出表中位置的数据；（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率【解答】解：（1）由频率分布表，可得位置的数据为50815105=12，位置的数
13、据为10.160.240.200.1=0.3，故位置的数据分别为12、0.3； （2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，要求从中用分层抽样法抽取6名学生，则第三组参加考核人数为15=3，第四组参加考核人数为10=2，第五组参加考核人数为5=1，故第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；（3）设（2）中选取的6人为a、b、c、d、e、f（其中第四组的两人分别为d，e），则从6人中任取2人的所有情形为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共有15种；记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的
14、基本事件的种数有9种所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为18. （本小题满分16分）如图华侨高级中学2016年校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图.（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；甲乙78994 4 4 6 739 7 6 6 43 2（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？（1）众数为84，中位数84；（2），所以，所以乙的数据波动小.19.已知数列an满足a1=1，且4an+1anan+1+2an=9（nN*）（1）求a1，a2，a3，a4的值；（2）由（1）猜想an的通
15、项公式，并给出证明【解答】解：（1）由4an+1anan+1+2an=9得(第3题)，求得（2）猜想证明：当n=1时，猜想成立设当n=k时（kN+）时，猜想成立，即，则当n=k+1时，有，所以当n=k+1时猜想也成立综合，猜想对任何nN+都成立 20.是否存在常数a、b，使等式对于一切nN*都成立.导思：存在性问题先假设存在，然后求出符合条件的量.本题求a、b两个量只需两个等式即可，而已知条件是对于一切nN*都成立，即有无数个等式,只需取两特定n值即可求出.求出得到的a、b对于一切nN*是否成立，需用数学归纳法证明.像这种存在性问题可由特殊求出a、b，即不完全归纳法得出结论，再用数学归纳法加以证明对所有的nN*都成立.探究：假设存在a、b使得等式对一切nN*都成立,则当n=1,n=2时成立,即即有.对nN*是否成立,下面用数学归纳法给出证明:(1)当n=1时，左边=,右边=,等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，即,则当n=k+1时,当n=k+1时等式成立.根据(1)(2)可知等式对任何nN*都成立.