1、第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 9.3二项式定理 考向归纳考向1求二项展开式的指定项或指定项的系数1(2015陕西高考)二项式(x1)n(xN*)的展开式中x2的系数为15，则n()A7 B6 C5 D4【解析】(x1)n(1x)n，(1x)n的通项为Tr1Cxr，令r2，则C15，即n(n1)30.又n0，得n6.【答案】B2(2015湖南高考)已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a()A. B C6 D6【解析】Tr1C()5rrC(a)rx，由，解得r1.由C(a)30，得a6.故选D.【答案】D求二项展开式中的特定项或项的系数的方法1展开式中常数项、有理项的特征是通项中未
2、知数的指数分别为零和整数解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析2有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围考向2二项式系数或各项系数和的问题1.在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和【解】设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为
3、a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为aoa2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为CCC210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为CCC29，偶数项的二项式系数和为CCC29.(4)令xy1，得到aoa1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇数项系数和为；得2(a1a3a9)1510，偶数项系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1a3a5a9；x的偶次项系数和为a0a2a4a10.赋值法的应用1
4、形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可2对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可3若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.变式训练1若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为()A1或3B1或3C1 D3【解析】令x0，得a0a1a2a9(2m)9, 令x2，得a0a1a2a9m9，又(a0a2a8)2(a1a3
5、a9)239，即(a0a1a2a9)(a0a1a2a9)39，即(2m)9m939，所以(2m)m3，解得m1或3.故选A.【答案】A2若(2x3)3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则a0a12a23a3_.【解析】因为(2x3)3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，所以6(2x3)2a12a2(x2)3a3(x2)2，令x1得 a12a23a36126.在等式(2x3)3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3中，令x2得，a0(43)31.所以a0a12a23a3615.【答案】5考向3二项式定理的应用命题角度1三项展开式中特定项(系数)问题1(2015全国卷)
6、(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10B20C30 D60【解析】法一(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.故选C.法二(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC30.故选C.【答案】C2(2015上海高考)在10的展开式中， x2项的系数为_【解析】1010(1x)10C(1x)9C(1x)8210只有第1项中含有x2的项，故含有x2的项的系数为C45.【答案】45命题角度2多项式积的展开式中特定项(系数)问题3(2
7、014全国卷)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)【解析】x2y7x(xy7)，其系数为C，x2y7y(x2y6)，其系数为C，x2y7的系数为CC82820.【答案】204(2016昆明模拟)(1)4的展开式中x的系数是_【解析】(1)4的展开式的通项公式为Tr1C()r(1)rCx，.(1)4的展开式中含x的项为(1)4Cx2x(1)0Cxx2x13x，故系数是3.【答案】3命题角度3与整除有关的问题5190C902C903C(1)k90kCk109010C除以88的余数是()A1B1C87D87【解析】190C902C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10项均能被88整除，余数是1.【答案】B6设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a_.【解析】512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a，C522 012C522 011C52(1)2 011能被13整除又512 012a能被13整除，且0a13.C(1)2 012a1a也能被13整除因此a可取值12.【答案】12