1、学案34一元二次不等式及其解法导学目标： 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图自主梳理1一元二次不等式的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是_的不等式叫一元二次不等式2二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1,2(x10的解集a0x|xx2x|x_a0x|x1x0的解集是R，q：1af(1)的解集是()A(3,1)(3，) B(3,1)
2、(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)3已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集是B，不等式x2axb0的解集为(3,2)，则yf(x)的图象是()5当x(1,2)时，不等式x2mx40；(2)9x26x10.变式迁移1解下列不等式：(1)2x24x30；(2)3x22x80；(3)8x116x2.探究点二含参数的一元二次不等式的解法例2已知常数aR，解关于x的不等式ax22xa0.变式迁移2解关于x的不等式ax2(a1)x10.探究点三一元二次不等式恒成立问题例3(2011巢湖月考)已知f(x)x22ax2 (aR)，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围
3、变式迁移3(1)关于x的不等式4xp3对一切0p4均成立，试求实数x的取值范围转化与化归思想的应用例(12分)已知不等式ax2bxc0的解集为(，)，且0，求不等式cx2bxa0的解集【答题模板】解由已知不等式的解集为(，)可得a0，为方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系可得4分a0，由得c0，5分则cx2bxa0.6分，得0，、为方程x2x0的两根10分0，不等式cx2bxa0的解集为x|x12分【突破思维障碍】由ax2bxc0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a0，要求cx2bxa0，因a0，c0，从而知道cx2bxa0的解集是x大于大根及小于小根对应的两个集合要想求出解
4、集，需用已知量，代替参数c、b、a，需对不等式cx2bxa0 (a0)恒成立的条件是ax2bxc0，集合Qx|x2x20，则xQ是xP的()A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3(2011银川模拟)已知集合Mx|x22 008x2 0090，Nx|x2axb0，若MNR，MN(2 009，2 010，则()Aa2 009，b2 010 Ba2 009，b2 010Ca2 009，b2 010 Da2 009，b2 0104若(m1)x2(m1)x3(m1)1 Bm1Cm1或ma2a30，则使得(1aix)21 (i1,2,3)都成立的x的取值范围是(
5、)A. B.C. D.二、填空题(每小题4分，共12分)6在R上定义运算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1的x的取值范围为_8(2011泉州月考)已知函数f(x)的定义域为(，)，f(x)为f(x)的导函数，函数yf(x)的图象如右图所示，且f(2)1，f(3)1，则不等式f(x26)1的解集为_三、解答题(共38分)9(12分)解关于x的不等式0 (aR)10(12分)若不等式ax2bxc0的解集是，求不等式cx2bxa0(a0)，ax2bxc0)(2)计算相应的判别式(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集解(1)两边都乘以3，得3x
6、26x20，且方程3x26x20的解是x11，x21，所以原不等式的解集是x|1x1(2)不等式9x26x10，其相应方程9x26x10，(6)2490，上述方程有两相等实根x，结合二次函数y9x26x1的图象知，原不等式的解集为R.变式迁移1解(1)不等式2x24x30可转化为2(x1)210，2x24x30，且方程3x22x80的解是x12，x2，所以原不等式的解集是(，2，)(3)原不等式可转化为16x28x10，即(4x1)20，原不等式的解集为例2解题导引(1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分
7、类要不重不漏(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集解上述不等式不一定为一元二次不等式，当a0时为一元一次不等式，当a0时为一元二次不等式，故应对a进行讨论，然后分情况求解(1)a0时，解为x0.(2)a0时，44a2.当0，即0a1时，方程ax22xa0的两根为，不等式的解集为x|x当0，即a1时，x；当1时，x.(3)当a0，即1a0时，不等式的解集为x|x0，即a1时，不等式化为(x1)20，解为xR且x1.0，即a1时，xR.综上所述，当a1时，原不等式的解集为；当0a
8、1时，解集为x|x0；当1a0时，解集为x|x；当a1时，解集为x|xR且x1；当a1.当a0时，原不等式变形为(x)(x1)1时，解得x1；a1时，解得x；0a1时，解得1x.当a0，1，解不等式可得x1.综上所述，当a0时，不等式解集为(，)(1，)；当a0时，不等式解集为(1，)；当0a1时，不等式解集为(，1)例3解题导引注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题解方法一f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa.当a(，1)时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2
9、a3a，解得3a0，不等式2同解于4xm0.要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x28x6m0对任意实数x恒成立0，即648(6m)0，整理并解得m4xp3，(x1)px24x30.令g(p)(x1)px24x3，则要使它对0p4均有g(p)0，只要有.x3或x1.实数x的取值范围为(，1)(3，)课后练习区1A由已知有(x21)0，x1或1x.2D化简得Px1，Qx2，或x1，集合P，Q之间不存在包含关系，所以xQ是xP的既不充分又不必要条件3D化简得Mx|x2 009，由MNR，MN(2 009,2 010可知Nx|1x2 010，即1,2 010是方程x2axb0的两个根所以b12 0
10、102 010，a12 010，即a2 009.4C当m1时，不等式变为2x60，即x3，不符合题意当m1时，由题意知化简，得解得m.5B(1aix)21，即ax22aix0，即aix(aix2)0，这个不等式可以化为x0，即0x，若对每个都成立，则应最小，即ai应最大，也即是0x.6(，)解析由题意知，(xa)(xa)1(xa)(1xa)0.因上式对xR都成立，所以14(a2a1)0，即4a24a30.所以a0时，由log2x1，得x2；当x0时，由x21，得x1.综上可知，x的取值范围为(，1)(2，)8(2,3)(3，2)解析由导函数图象知当x0，即f(x)在(，0)上为增函数；当x0时
11、，f(x)1等价于f(x26)f(2)或f(x26)f(3)，即2x260或0x263，解得x(2,3)(3，2)9解0(xa)(xa2)0，(2分)当a0或a1时，原不等式的解集为；(4分)当a1时，aa2，此时axa2；(7分)当0aa2，此时a2xa.(10分)综上，当a1时，原不等式的解集为x|axa2；当0a1时，原不等式的解集为x|a2xa；当a0或a1时，原不等式解集为.(12分)10解由ax2bxc0的解集为，知a0，(3分)又20.又，2为方程ax2bxc0的两个根，(6分)，即.又，ba，ca.(8分)不等式cx2bxa0变为x2xa0.又a0，2x25x30，所求不等式的解集为.(12分)11解(1)xR时，有x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，6a2.(4分)(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图(1)，当g(x)的图象恒在x轴上方，满足条件时，有a24(3a)0，即6a2.(7分)如图(2)，g(x)的图象与x轴有交点，但在x2，)时，g(x)0，即即解之，得a.(10分)如图(3)，g(x)的图象与x轴有交点，但在x(，2时，g(x)0，即即7a6.(13分)综合，得a7,2(14分)