1、第三讲等比数列及其前n项和A组基础巩固一、单选题1在等比数列an中，a1，q，an，则项数n为(C)A3B4C5D62在等比数列an中，a2a616，a4a88，则等于(A)A1B3C1或3D1或3解析由a2a616，得a16a44.又a4a88，可得a4(1q4)8，q40，a44.q21，q101.3(2021陕西西安中学六模)已知数列an是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和若a2a64，且a42a7，则S5(C)A29B30C31D32解析本题考查等比数列性质及基本量的运算a2a6a4，且an0，a42.又a42a7，a7.设an的公比为q，则q3，q，ana425n，S5168
2、42131.4在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n等于(C)A12B13C14D15解析因为数列an是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，也成等比数列不妨令b1a1a2a3，b2a4a5a6，则公比q3.所以bm43m1.令bm324，即43m1324，解得m5，所以b5324，即a13a14a15324.所以n14.5(2021福建漳州质检)已知数列an为等比数列，且a2a104a6，Sn为等差数列bn的前n项和，且S6S10，a6b7，则b9(B)ABCD4解析本题考查等比数列、等差数
3、列的通项公式及性质an为等比数列，且a2a104a6，a4a6，解得a64.设等差数列bn的公差为d，S6S10，b7b8b9b100，则b7b100.a6b74，b104，3db10b7448，d，b9b72d42.故选B.6(2021河南省信阳高中、商丘一中高三上学期第一次联考)设等比数列an的公比为q0，且q1，Sn为数列an前n项和，记Tn，则(D)AT3T6BT3T6解析T6T3，由于q0且q1，所以1q与1q6同号，所以T6T30，T6T3，故选D.二、多选题7(2021辽宁大连八中模拟改编)记等比数列an的前n项和为Sn，若a12，S36，则S4(AC)A10B8C8D10解析设
4、等比数列的公比为q，因为a12，S36，所以S322q2q26，则q2q20，所以q1或q2.当q1时，S4S328；当q2时，S4S3a1q362(2)310，故选A、C.8(2020山西大同期中改编)中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则
5、下列判断正确的是(BD)AaBcCa，b，c依次成公比为2的等比数列Da，b，c依次成公比为的等比数列解析由题意得a，b，c依次成公比为的等比数列，且c2c4c50，即c，故选B、D.三、填空题9(2021四川南充一诊)数列an满足：log2an11log2an，若a310，则a8 320 解析由题意知log2an1log2(2an)，an12an，an是公比为2的等比数列，又a310，a8a325320.10(2021北京东城区期末)已知an是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和若a16，a22a36，则公比q ，S4 解析本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式由题意，数列an是各项均
6、为正数的等比数列，由a16，a22a36，可得a1q2a1q26q12q26，即2q2q10，解得q或q1(舍去)由等比数列的前n项和公式，可得S4.11等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3，S6，则a8 32 解析由题意知S3a1a2a3，a4a5a6S6S314q3，q2.又a12a14a1，a1，a82732.12(此题为更换后新题)(2021长春市高三一检)等比数列an的首项为a11，前n项和为Sn，若，则公比q 解析由，a11，知公比q1，.由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，故q5，所以q.12(此题为发现的重题，更换
7、新题见上题)(2021长春市高三一检)等比数列an的首项为a11，前n项和为Sn，若，则公比q 解析由，a11，知公比q1，.由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，故q5，所以q.四、解答题13(2021安徽联考)已知Sn是数列an的前n项和，且满足Sn2ann4.(1)证明：Snn2为等比数列；(2)求数列Sn的前n项和Tn.解析(1)证明：由题意知Sn2(SnSn1)n4(n2)，即Sn2Sn1n4，所以Snn22Sn1(n1)2，又易知a13，所以S1124，所以Snn2是首项为4，公比为2的等比数列(2)由(1)知Snn22n1，所以Sn2n
8、1n2，于是Tn(22232n1)(12n)2n2n.14(2021陕西榆林一模)已知数列an，bn满足a11，b1，2an1anbn，2bn1anbn.(1)证明：数列anbn，anbn为等比数列；(2)记Sn为数列an的前n项和，证明：Sn.解析本题考查等比数列的证明，前n项和公式，放缩法证明不等式(1)证明：依题有两式相加得an1bn1(anbn)，又a1b1，anbn是首项为，公比为的等比数列两式相减得an1bn1(anbn)，又a1b1，anbn是首项为，公比为的等比数列(2)由(1)可得anbn，anbn，两式相加得an，故Sn.B组能力提升1(2021安徽六安一中调研)已知1，a
9、1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是(C)A或BC.D解析由题意得a1a25，b4，又b2与第一项的符号相同，所以b22.所以.故选C.2(2021湖北省部分重点中学高三调考)九章算术中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间约为(C)参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1，结果精确到0.1.A2.2天B2.4天C2.6天D2.8天解析设蒲每天的长度构成等比数列an
10、，其首项为a13，公比为，前n项和为An.设莞每天的长度构成等比数列bn，其首项为b11，公比为2，前n项和为Bn.则An，Bn.设蒲、莞长度相等时所需时间为x天，则，化简得2x7，计算得出2x6，2x1(舍去)所以x12.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等故选C.3(多选题)(2021海南海口模拟)已知正项等比数列an满足a12，a42a2a3.若设其公比为q，前n项和为Sn，则(ABD)Aq2Ban2nCS102 047Danan13an，故D正确故选ABD.4(多选题)设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a11，a9a101，0，则下列结论正确的是(A
11、D)A0q1CSn的最大值为S10DTn的最大值为T9解析由题意得a91a10a11，0q1，a10a112 020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由从q2，q，q2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。解析当q2时，a13，an32n1，Sn32n3.由32k32 020得2k674，29512，2101 024，kN，kmin10.当q时，a148，an48，Sn9696.由96962 020得，不等式无解此时不存在当q2时，a13，an3(2)n1，Sn1(2)n.由1(2)k2 020得(2)k2 019，(2)9512，(2)101 024，(2)112 048，kN，kmin11.