1、高三1067空间角.空间距离综合一:高考真题:图911.（2003京春文11，理8）如图91，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（ ）A.90 B.60C.45 D.02.（2002全国理，8）正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（ ）A.90 B.60 C.45 D.303.（2001全国，11）一间民房的屋顶有如图94三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分
2、别为P1、P2、P3.图94若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则（ ）A.P3P2P1B.P3P2P1C.P3P2P1D.P3P2P14.（2001全国，9）在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）A.60 B.90 C.105 D.755.（2000全国文，12）如图95，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）A.B.C.D.6.（1995全国文，10）如图97，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）A. B.C. D.7.
3、（2003上海春，10）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于 （结果用反三角函数值表示）.8.（2002京皖春，15）正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图911所示）.M为矩形AEFD内一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为 .9.（2002上海，4）若正四棱锥的底面边长为2 cm，体积为4 cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 .图91310.（2000上海春，8）如图913，BAD90的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点
4、，则AE与平面BCD所成角的大小为_.11.（2003京春文，19）如图919，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.（）求三棱锥D1DBC的体积；（）证明BD1平面C1DE；（）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.图919 图920图92112.（2003京春理，19）如图920，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBD=G.（）求证：平面B1EF平面BDD1B1；（）求点D1到平面B1EF的距离d；（）求三棱锥B1EFD1的体积V.13.（2002京皖春文，19）在三棱锥SABC中
5、，SAB=SAC=ACB=90，且AC=BC=5，SB=5.（如图921）（）证明：SCBC；（）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（）求三棱锥的体积VSABC.14.（2002全国理，18）如图926，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0a）.（）求MN的长；（）当a为何值时，MN的长最小；（）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小.图926 图92715.（2001春季北京、安徽，19）如图927，已知VC是ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在ABC
6、的高CD上.ABa，VC与AB之间的距离为h，点MVC.（）证明MDC是二面角MABC的平面角；（）当MDCCVN时，证明VC平面AMB；（）若MDCCVN（0，求四面体MABC的体积.答案解析图9431.答案：B解析：将三角形折成三棱锥如图943所示.HG与IJ为一对异面直线.过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD.所以ADF即为所求.因此，HG与IJ所成角为60.评述：本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键.通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的
7、主要方向.2.答案：B解析：连结FE1、FD，则由正六棱柱相关性质得FE1BC1.在EFD中，EF=ED=1，FED=120，FD=.在RtEFE1和RtEE1D中，易得E1F=E1D=.E1FD是等边三角形.FE1D=60.BC1与DE1所成的角为60.评述：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法.3.答案：D解析：由S底S侧cos可得P1P2而P3又2（S1S2）S底 P1P 2P 3图948 4.答案：B解析：如图948，D1、D分别为B1C1、BC中点，连结AD、D1C，设BB11，则AB，则AD为AB1在平面BC1上的射影，又DE2BE2BD22BEBDcosC1BC而B
8、E2DE2BD2图949BED90 AB1与C1B垂直图9505.答案：D解析：如图950，由题意知，r2hR2h，r 又ABOCAO，OA2rR，cos6.答案：A解析：这是两条异面直线所成角的问题，如图951将DF1平移至AG1，A1G1，再将AG1平移至EE1，其中AE，B1E1，BE1E即是异面直线BE1与DF1所成的角.图951设正方体棱长为l，可求得EE1BE1，EB，在BEE1中由余弦定理得cosBE1E故应选A.评述：利用直线平移，将异面直线所成角转化为相交直线所成角，将空间图形问题转化为平面图形问题来解决.“转化”是一种重要的数学思想，这种思想在近几年的试题里明显地、有意识地
9、进行了考查.图9537.答案：arctan解析：设棱锥的高为h，如图953，则V=44sin60h=1，h=.D为BC中点，OD=AD=4=.易证PDO为侧面与底面所成二面角的平面角tan=.故=arctan评述：本题考查三棱锥中的基本数量关系，考查二面角的概念及计算.图9548.答案：解析：过M作MOEF，交EF于O，则MO平面BCFE.如图954，作ONBC，设OM=x，又tanMBO=，BO=2x又SMBE=BEMBsinMBE=BEMESMBC=BCMBsinMBC=BCMNME=MN，而ME=，MN=，解得x=.9.答案：30解析：如图960，作BC边中点M，VMBC过V作VO底面A
10、BCDVOMO，MOBC，VMO为其侧面与底面所成二面角的平面角V锥=SABCDVO4=（2）2VO ，VO=1又OM=，VOMO，VMO=30侧面与底面所成的二面角为30.10.答案：45解析：过点A作AFBD于F，则AF面BCD，AEF为所求的角设BDa，则AF，EF，在RtAEF中，AEF4511.（）解： =221=.（）证明：记D1C与DC1的交点为O，连结OE.O是CD1的中点，E是BC的中点，EOBD1，BD1平面C1DE，EO平面C1DE.BD1平面C1DE.（）解：过C作CHDE于H，连结C1H.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，C1C平面ABCD，C1HDE，C1HC是
11、面C1DE与面CDE所成二面角的平面角.DC=2，CC1=1，CE=1.CH=tanC1HC=.即面C1DE与面CDE所成二面角的正切值为.评述：本题考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.12.（）证法一：连接AC.正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形.ACBD，又ACD1D，故AC平面BDD1B1E，F分别为AB，BC的中点，故EFAC，EF平面BDD1B1平面B1EF平面BDD1B1.证法二：BE=BF，EBD=FBD=45，EFBD.平面B1EF平面BDD1B1.（）解：在对角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足为H平面B1EF平面BDD1B1，且
12、平面B1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平面B1EF，且垂足为H，点D1到平面B1EF的距离d=D1H.解法一：在RtD1HB1中，D1H=D1B1sinD1B1H，D1B1=A1B1=4.sinD1B1H=sinB1GB=，d=D1H=4解法二：D1HBB1BG，图964d=D1H=.解法三：如图964，连接D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半.即B1GD1H=BB12.d=.（）d.评述：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力.并进行一定的逻辑推理.在研究本题时，要注意摘出平面图形，便于计算.13.（）证明：SAB=SA
13、C=90， SAAB，SAAC.又ABAC=A， SA平面ABC.由于ACB=90，即BCAC， 由三垂线定理，得SCBC.（）解：BCAC，SCBCSCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角.在RtSCB中，BC=5，SB=5. 得SC=10在RtSAC中AC=5，SC=10，cosSCA=SCA=60，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60.（）解：在RtSAC中，SA=.SABC=ACBC=55=.VSABC=SACBSA=.图97014.解：（）作MPAB交BC于点P，NQAB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MPNQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，如图970M
14、N=PQ.由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，AC=BF=， .即CP=BQ=.MN=PQ=（0a）.（）由（），MN=，所以，当a=时，MN=.即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为.图971（）取MN的中点G，连结AG、BG，如图971AM=AN，BM=BN，G为MN的中点AGMN，BGMN，AGB即为二面角的平面角，又AG=BG=，所以，由余弦定理有cos=.故所求二面角=arccos（）.评述：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理和几何计算交错为一体；以两个垂直的正方形为背景，加强空间想象能力的考查.体现了立体几何从考查、论证和计算为
15、重点，转到既考查空间概念，又考查几何论证和计算.但有所侧重，融论证于难度适中的计算之中.反映教育改革趋势，体现时代发展潮流.此外解答过程中，必须引入适当的辅助线，不仅考查识图，还考查了基本的作图技能.充分体现了“注重学科之间的内在联系”，较为深入和全面考查各种数学能力.图97215.（）证明：CDAB，VN平面ABC，AB平面ABC，VNAB.又CDVNN 平面VNCAB又MD平面VNC MDABMDC为二面角MMABC的平面角.如图972（）证明：VC平面VCN，ABVC又在VCN和CDM中，CVNMDC，VCNVCN DMCVNC90.DMVC又ABDMD，AB、DM平面AMB VC平面A
16、MB（）解：MDAB且MDVC，MD为VC与AB的距离为h.过M作MECD于E图973VMABCABCDMEah2tan四、作业 同步练习g3.1067 空间角距离综合1、已知半径是B的球面上有A、B、C三点，AB=6 ,BC=8, AC=10;则球心O到截面ABC的距离为（ ）A、12 B、8 C、6 D、52、已知三棱锥P-ABC，PA平面ABC，,AB=1,D、E分别是PC、BC的中点，则异面直线DE与AB的距离是（ ）A、 B、 C、 D、与PA的长有关3、设两平行直线a、b间的距离为2m，平面与a、b都平行且与a、b的距离都为m，这样的平面有（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4
17、个4、一个二面角的两个面分别与另一个二面角的两个面垂直，则这两个二面角（ ）A、相等 B、互补 C、相等或互补 D、不确定5、平面CD，P为这两个平面外一点，PA于A，PB于B，若PA=2,PB=1AB=则二面角的大小为（ ）A、 B、 C、 D、6、P是平面ABC外一点，若PA=PB=PC,且则二面角P-AB-C的余弦值为 .7、正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积之比为2：3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为 。8、已知,过O点引所在平面的斜线OC与OA、OB分别成、角，则以OC为棱的二面角A-OC-B的余弦值为 。9、平面的一条垂线段OA（O为垂足）的长为6，点B、C在平面上，且
18、,那么B、C两点间距离的范围是 。10、正方体的棱长为a，点P 在棱上运动，那么过P、B、D1三点的截面面积的最小值是 11、直三棱柱中，,AC=AA1=a，则点A到截面A1BC的距离是 12、（05湖南）如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。（）证明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小。ABCDOO1ABOCO1D13、（05湖北）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1. （）求BF的长； （）求点C到平面AEC1F的距离.参考答案A B C
19、 D D 12、解法一（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）图3O1（0，0，）.从而所以ACBO1. （II）解：因为所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量，由 得. 设二面角OACO1的大小为，由、的方向可知，ABOCO1D所以cos，=即二面角OACO1的大小是解法二（I）证明 由题设知OAOO1，O
20、BOO1， 所以AOB是所折成的直二面角的平面角，图4即OAOB. 从而AO平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影.因为 ，所以OO1B=60，O1OC=30，从而OCBO1由三垂线定理得ACBO1.（II）解 由（I）ACBO1，OCBO1，知BO1平面AOC.设OCO1B=E，过点E作EFAC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1FAC.所以O1FE是二面角OACO1的平面角. 由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，从而，又O1E=OO1sin30=，所以 即二面角OACO1的大小是13本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基
21、础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1：（）过E作EH/BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH/AD，且EH=AD.又AFEC1，FAD=C1EH.RtADFRtEHC1. DF=C1H=2.（）延长C1E与CB交于G，连AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CMAG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AGC1M.由于AG面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F面C1MC.在RtC1CM中，作CQMC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离.解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.AEC1F为平行四边形，（II）设为平面AEC1F的法向量，的夹角为a，则C到平面AEC1F的距离为