1、陕西省渭南市2017届高三下学期第二次教学质量检测（二模）数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合为虚数单位，,则复数 （ ）A B C D2. 对具有线性相关关系的两个变量和，测得一组数据如下表所示: 根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为,则 （ ）A B C D3. 直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是 （ ）A B C D 4. 已知向量，若，则在向量上的投影为（ ）A B C. D5. 成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上后成为等比数列中的，则
2、数列的通项公式为（ ）A B C. D6. 已知变量满足约束条件，则的取值范围为 （ ）A B C. D7. 某几何体的三视图如图，其俯视图与左视图均为半径是的圆，则该几何体的表面积是 （ ）A B C. D8. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序图，若输入的分别为和为，则输出的 （ ）A B C. D9. 设为等差数列的前项和，若的前项和为,则的值为（ ）A B C. D10. 函数，则的大致图象是 （ ） A B C. D11. 函数的图象中相邻对称中心的距离为，若角的终边经过点，则图象的
3、一条对称轴为 （ ）A B C. D12. 在某商业促销的最后场活动中，甲、乙、丙、丁、戊、已名成员随机抽取个礼品，每人最多抽一个礼品，且礼品全被抽光，个礼品中有两个完全相同的笔记本电脑，两个完全相同的山地车，则甲、乙两人都抽到礼品的情况有（ ）A种 B种 C. 种 D9 种第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设,若，则 14. 已知，在的展开式中，的系数是 (用数字填写答案)15. 已知离心率是的双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的标准方程为 16. 体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为 三、解答题 （本大题共6小题，共7
4、0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值；（2）在中，成等比数列，求此时的值域.18. 如图，四边形是体积为的圆柱的轴截面，点在底面圆周上，是的中点. （1）求证: 平面；（2）求二面角的正弦值.19. 在一次爱心捐款活动中，小李为了了解捐款数额是否和居民自身的经济收入有关，随机调査了某地区的个捐款居民每月平均的经济收入. 在捐款超过元的居民中，每月平均的经济收入没有达到元的有个，达到元的有个；在捐款不超过元的居民中，每月平均的经济收入没有达到元的有个.（1）在下图表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否超过元和居民
5、毎月平均的经济收入是否达到元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率. 现在从该地区大量居民中，采用随机抽样方法毎次抽取个居民，共抽取次，记被抽取的个居民中经济收入达到元的人数为，求和期望的值.每月平均经济收入达到元每月平均经济收入没有达到元合计捐款超过元捐款不超过元合计附:，其中20. 已知是椭圆上关于原点对称的任意两点，且点都不在 轴上.（1）若，求证: 直线和的斜率之积为定值；（2）若椭圆长轴长为，点在椭圆上，设是椭圆上异于点的任意两点，且.问直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.21. 已知 . （1）若，讨论的单调性；（2）若不等式有且仅有两个整数解
6、，求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为参数) 以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）直线的坐标方程是,直线与曲线交于点和，与直线交于点，求的长.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式，对任意的实数都成立，求正实数的最小值.陕西省渭南市2017届高三下学期第二次教学质量检测（二模）数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:ABCDA 6-10:DCCBB 11-12：AA二、填空题13. 14. 1
7、5. 16.三、解答题17. 解：(1), 因为函数的周期为，所以.(2) 由（1）知，易得.因为,成等比数列，所以，所以(当且仅当时取等号) ，因为，所以，所以，所以函数的值域为.18. 解：(1) 由题意可知，解得，在直角中，由勾股定理得,又是的中点，. 为圆的直径，由已知得底面. 由可知：平面.(2) 由（1）知:平面是二面角的平面角.,所以二面角的平面角的正弦值.19. 解：(1) 由题意可知，表格如下每月平均经济收入达到元每月平均经济收入没有达到元合计捐款超过元捐款不超过元合计.因为，所以有以上的把握认为捐款数额是否超过元和自身经济收入是达到元有关.(2) 抽到自身经济收入超过元居民
8、的频率为，将频率视为概率. 由题意知的取值可能有.20. 解：(1) 由题意设，则，所以有，又因为,所以,(定值).(2) 直线过点，理由如下: 当直线斜率，易得,直线的方程为. 直线过点.由已知，椭圆方程为，设直线，则，设，则，或(舍去),方程为，则直线恒定过点，综上所述，直线恒定过点. 21. 解：(1) ，当时，在上恒成立，即在上单调递减，当时，的解集为，即在上单调递增，在上单调递减.(2) 由不等式有且仅有两个整数解得，有两个整数解.当时，；当时，所以，有两个整数解.设，则，令，则，又，所以，使得，在为增函数，在为减函数，有两个整数解的充要条件是，解得.22. 解：(1)消去参数，得到圆的普通方程为，令代入的普通方程，得的极坐标方程为，即.(2)在的极坐标方程中令，得，在的极坐标方程中令，得，所以.23. 解：（1）由题意知，不等式，解集为.由，得，所以，由，解得.（2）由题意,从而，又，故正实数的最小值为.