1、第五节合情推理与演绎推理考纲传真1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的演绎推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异(见学生用书第108页)1合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)特点：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理
2、(简称类比)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断1(固基升华)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平
3、行六面体作为类比对象较为合适()(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()【答案】(1)(2)(3)(4)2(人教A版教材习题改编)已知数列an中，a11，n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A3n1B4n3Cn2 D3n1【解析】a11，a24，a39，a416，猜想ann2.【答案】C3给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”“若a，b
4、，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“若a，b，c，dQ，则abcdac，bd.”“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”其中类比得到的结论正确的个数是()A0B1 C2D3【解析】根据复数的运算及复数相等的定义知正确，错误；根据实数相等的定义知，正确故选C.【答案】C4“因为指数函数yax是增函数(大前提)，而yx是指数函数(小前提)，所以函数yx是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A大前提错误导致结论错B小前提错误导致结论错C推理形式错误导致结论错D大前提和小前提错误导致结论错【解析】“指数函数yax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的，因为实
5、数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的【答案】A5(2012陕西高考)观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为_【解析】观察所给不等式可知第五个不等式为1.【答案】1af(b)bf(a)，(1)试证明：f(x)为R上的单调增函数；(2)若x，y为正实数且4，比较f(xy)与f(6)的大小【解】(1)设x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1)所以yf(x)为R上的单调增函数(2)因为x，y为正实数，且4，所以xy(xy)，当且仅当即时取等号，因为f(x)
6、在R上是增函数，且xy6，所以f(xy)f(6)一种模式演绎推理的一般模式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的三个防范1.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误2合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明3演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.(见学生用书第109页)归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在
7、填空题中，为中、低档题演绎推理大多数出现在解答题中，为中、高档题目在知识的交汇点处命题，背景新颖的创新问题，常考常新，值得重视创新探究之十与归纳推理有关的创新题 (2012湖北高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图651所示的三角形数：图651将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：(1)b2 012是数列an中的第_项；(2)b2k1_.(用k表示)【解析】(1)由图可知an1an(n1)(nN*)所以a2a12，a3a23，anan1n.累加得ana123n，即an123n.
8、当n4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，时，an能被5整除，即b2a5，b4a10，b6a15，b8a20，所以b2ka5k(kN*)所以b2 012a51 006a5 030.(2)由(1)可知b2k1a5k15k(5k1).【答案】(1)5 030(2)创新点拨：(1)将几何直观(三角形数)，子数列和归纳推理交汇，背景新颖(2)由归纳推理得到一般结论，再根据一般规律解决具体问题应对措施：(1)根据三角形数，寻找an与an1的关系，可尝试从简单情形入手进行归纳猜想，叠加求出an，这是本题求解的关键(2)寻找bk与an关系，从数列前若干项寻找，探求条件中包含的规律，从而使问题
9、得到解决1(2014佛山模拟)对于数25，规定第1次操作为2353133，第2次操作为13333355，如此反复操作，则第2 014次操作后得到的数是()A25 B250 C55 D133【解析】由题意知，第3次操作为5353250，第4次操作为235303133，第5次操作为55，.因此每次操作后的得数呈周期排列，且周期为3，又2 01467131，故第2 014次操作后得到的数是133，故选D.【答案】D2(2013湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n.记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数N(n,4)n2，五边形数N(n,5)n2n，六边形数N(n,6)2n2n，可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.【解析】由所给结论知，N(n，k)n2n，则N(10,24)1110210101 000.【答案】1 000