1、湖南省名校联考联合体2020-2021学年高一数学下学期期末联考试题（含解析）一、单选题1.已知复数 满足 ，则 （ ） A.B.C.D.2.已知某地近三天每天下雨的概率为0.5，现采用计算机模拟的方法估计这三天中至少有两天下雨的概率，先由计算机产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9表示不下雨，经随机模拟产生了20组随机数： 据此估计，三天中至少有两天下雨的概率为（ ）A.0.5B.0.55C.0.6D.0.653.已知三个函数 的图象示，则（ ） A.B.C.D.4.已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A.B.C.D.5.经纬度是
2、经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬 ，若将地球看成近似球体，其半径约为 ，则北纬 纬线的长为（ ） A.B.C.D.6.在平面直角坐标系 中，已知角 的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点 ，角 满足 ，则 的值为（ ） A.B.C.D.7.如图，为测量楼房的高度PQ ， 选择A和另一座楼房的房顶C作为测量基点，从A测得P点的仰角为 ， 点的仰角 从 点测得 ，且BC楼高50 ，则PQ楼高为（ ） A.B
3、.C.D.8.在平面中的向量 满足 且 ， 为平面内一点，且 ，则 的取值范围为（ ） A.B.C.D.二、多选题9.下列命题中，真命题有（ ） A.若复数 ，则 B.若复数 满足 ，则 或 C.若复数 ，则 D.若复数 满足 ，则 且 10.下列关于概率的命题，正确的有（ ） A.若事件 满足 ，则 为对立事件B.若事件A ， B满足 ，则A ， B相互独立C.若对于事件 ，则 两两独立D.若对于事件 与 相互独立，且 ，则 11.已知函数 则下列判断正确的有（ ） A.方程 的所有解之和为 B.若直线 与 的图象有且仅有两个公共点，则 C.若方程 恰有四解 ，则 D.若 有两正根 ，则 1
4、2.如图，在正方体 中，点 在线段 运动，则（ ） A.三棱锥 的体积为定值B.异面直线 与 所成的角的取值范围为 C.直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 D.过 作直线 ，则 三、填空题13.已知集合 ，用列举法表示集合 ，则 _. 14.若复数 (其中 为虚数单位)所对应的向量分别为 和 ，则 的面积为_. 15.我省高考实行3+1+2模式，高一学生A和B两位同学的首选科目都是历史，再选科目两人选择每个科目的可能性均等，且他们的选择互不影响，则他们选科至少有一科不同的概率为_. 16.已知，如图，正方体 棱长为 ， 为 上的动点，则 的是小值为_. 四、解答题17.某地一天的时间 ，单
5、位：时)随气温 变化的规隼可近似看成正弦函数 的图象，如图所示. （1）根据图中数据，试求 的表达式. （2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于 ，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？ 18.已知.如图，正方形ABCD的边长为1，P ， Q分别为边BC ， CD上的点. （1） .求 ； （2）当 的周长为2时，求 的大小. 19.新冠疫苗接种是能构建人群免疫屏陈，阻断病毒传挪，国家卫健委宣布至2021年6月14日，我国已累计报告接种新冠病毒疫苗超9亿剂次.在某社区接种点，随机抽取了100名来接种疫苗的市民，统计其在
6、接种点等待接种的时间(等待时间不超过40分钟)，将统计数据按 分组，制成以下频率分布直方图. （1）由所给的频率分布直方图： 估计该接种点市民等待时间的上四分位数；(结果保留一位小数)记A事件为该接种点居民等待接种时间少于30分钟”，试估计件A的概率.（2）为鼓励市民踊跃接种，在该接种点接种疫苗的市民有机会获取小礼物；现场有1个箱子，箱子中有质地相同的10个小球，其中9个蓝球，1个红球，每个完成接种的市民有两种选择，选择1：每次摸出1球，有放回地摸10次；选择2：每次可摸出2球，有放回地摸5次.两种选择至少能摸出一个红球即可获赠小礼物，则哪种选择获得小礼物的概率较大？说明理由. 20.已为 c
7、分别为 三内角 的对边，且 （1）求 . （2）若 ， 的平分线 ，求 的面积 . 21.设函数 定义在 上的奇函数. （1）若不等式 有解，求实数 的取值范围； （2）若 ，求满足条件的a的取值范围. 22.如图，直三棱柱 中， ，M为侧梭 的中点. （1）试探究在 上是否存在点 ，使 面 ，若存在，试证明你的结论；若不存在，请说明理由. （2）若 与平面 所成角的正弦值为 ，求该三棱柱的体积. 答案解析部分一、单选题1.已知复数 满足 ，则 （ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】 . 故答案为：B 【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式
8、的乘除运算化简，即可得出答案。2.已知某地近三天每天下雨的概率为0.5，现采用计算机模拟的方法估计这三天中至少有两天下雨的概率，先由计算机产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9表示不下雨，经随机模拟产生了20组随机数： 据此估计，三天中至少有两天下雨的概率为（ ）A.0.5B.0.55C.0.6D.0.65【答案】 A 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】【解答】基本事件的总数为20种， 其中三天中至少有两天下雨的基本事件有162， 151 ，271 ，932 ，408 ，471 ，333 ，730 ，163 ，039共10种，所以
9、三天中至少有两天下雨的概率约为 故答案为：A 【分析】经随机模拟产生的20组随机数中，利用列举法求出三天中至少有两天下雨的随机数有10组，据此以估计三天中至少有两天下雨的概率。3.已知三个函数 的图象示，则（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质，幂函数的图象 【解析】【解答】由指数函数 图象可知， ， 由幂函数 的图象可知， ，由对数函数 的图象可知 ，故可得 ，故答案为：C 【分析】根据题意，结合指数函数，幂函数，对数函数图像性质，分析a，b，c的取值范围，即可得出答案。4.已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A.B.C.D
10、.【答案】 D 【考点】函数单调性的性质 【解析】【解答】根据复合函数的单调性可知，若函数在区间 上单调递增， 需满足 ，解得： .故答案为：D 【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数，对数函数的性质，即可得出答案。5.经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬 ，若将地球看成近似球体，其半径约为 ，则北纬 纬线的长为（ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】三角形中的几何计算 【解析】【解答
11、】如图所示，半径 ，周长为 . 故答案为：B. 【分析】利用球的截面，结合球与截面之间的关系，在直角三角形中，求出北纬纬线圈的半径，即可得出答案。6.在平面直角坐标系 中，已知角 的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点 ，角 满足 ，则 的值为（ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】两角和与差的余弦公式，任意角三角函数的定义 【解析】【解答】由 ，可知 因为 ，所以 ，即 ，所以 ,故答案为：B 【分析】由三角函数定义可知， ， 由 可推出 即 ， 再利用二倍角公式对原式化简，即可求解。7.如图，为测量楼房的高度PQ ， 选择A和另一座楼房的房顶C作为测量基点，从A测得P点的仰角为 ， 点
12、的仰角 从 点测得 ，且BC楼高50 ，则PQ楼高为（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】解三角形的实际应用 【解析】【解答】在 中， ， ，所以 在 中， ， ，从而 ，由正弦定理得， ，因此 在 中， ， ，由 得 故答案为：A 【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AP的值，在 中，由 ， ， 从而可求得PQ的值。8.在平面中的向量 满足 且 ， 为平面内一点，且 ，则 的取值范围为（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】向量的模，向量的减法及其几何意义 【解析】【解答】 , , 向量 满足 且 , , , , , ,故答案为：C 【分析】由 ,得 ， 结合可
13、求得 的取值范围 。二、多选题9.下列命题中，真命题有（ ） A.若复数 ，则 B.若复数 满足 ，则 或 C.若复数 ，则 D.若复数 满足 ，则 且 【答案】 A,C 【考点】复数相等的充要条件，复数求模 【解析】【解答】A.由条件 可知， 和 互为共轭复数，即 ， ， 那么 ，A符合题意；B.两个复数的模相等，不能推出两个复数相等或是共轭复数，比如， ， ，B不正确；C. 由条件 可知， 和 互为共轭复数，则 ，C符合题意；D.若 ， ，满足 ，则 且 ，D不正确.故答案为：AC 【分析】利用复数的共轭，复数的模，及复数的运算，逐项进行分析，即可得出答案。10.下列关于概率的命题，正确的
14、有（ ） A.若事件 满足 ，则 为对立事件B.若事件A ， B满足 ，则A ， B相互独立C.若对于事件 ，则 两两独立D.若对于事件 与 相互独立，且 ，则 【答案】 B,D 【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式 【解析】【解答】A.因为 ，是 为对立事件的必要条件，不是充分条件，如单位圆的一条直径把圆分成两部分，即区域M和区域N（不包括边界），向这两个区域投一枚绣花针，如针尖落在区域M内记为事件A ， 针尖落在区域N内记为事件B ， 满足 ，但 不是对立事件，因为针尖还有可能落在直径上，故错误； B. 若 ，则A ， B相互独立，故正确；C. 若 两两独立，则 ，
15、，故错误；D.若事件 与 相互独立，则 ， ，故正确；故答案为：BD 【分析】直接利用对立事件的定义，相互独立事件的定义的应用判断A,B,C,D的结论。11.已知函数 则下列判断正确的有（ ） A.方程 的所有解之和为 B.若直线 与 的图象有且仅有两个公共点，则 C.若方程 恰有四解 ，则 D.若 有两正根 ，则 【答案】 A,B,D 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，分段函数的应用 【解析】【解答】A.首先画出函数的图象， 的所有解，即 与 的交点的横坐标，如图可知有4个交点，设四解 ，根据对称性可知 ， ，即 或 ，解得： 或 ，所有解的和是 ，A符合题意； B.由图象可知，当
16、直线 与 的图象有且仅有两个公共点，则 ，B不正确；C.由A可知 ， ，即 ，即 ，所以 ，C符合题意；D.由C的证明可知D符合题意.故答案为：ABD 【分析】画出函数的图象，根据对称性可知 ， ，利用数形结合进行求解，逐项进行判断可得答案。12.如图，在正方体 中，点 在线段 运动，则（ ） A.三棱锥 的体积为定值B.异面直线 与 所成的角的取值范围为 C.直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 D.过 作直线 ，则 【答案】 A,C,D 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角 【解析】【解答】如图， 对于A， ,因为点 在线段 上运动,所以 ,面积为定值
17、,且 到平面 的距离即为 到平面 的距离,也为定值,故体积为定值,A符合题意；对于B，当点 与线段 的端点重合时, 与 所成角取得最小值为 , B不符合题意；对于C，因为直线 平面 ,所以若直线 与平面 所成角的正弦值最大,则直线 与直线 所成角的余弦值最大,则 运动到 中点处,即所成角为 ,设棱长为1,在 中, ,C符合题意;对于D，连接 ,由正方体可得 ,且 平面 ,则 ,所以 平面 ,故 ，过 作直线 ，则 ,所以 ；D符合题意.故答案为：ACD 【分析】 在A中，由B1C/平面A1C1D,得到P到平面 的距离为定值，再由A1C1D的面积是定值，从而三棱锥 的体积为定值； 在B中，异面直
18、线 与 所成角的取值范围是60，90; 在C中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 与平面 所成角的正弦值的最大值； 在D中，由 ， ,即可判断.三、填空题13.已知集合 ，用列举法表示集合 ，则 _. 【答案】【考点】集合的表示法 【解析】【解答】 , 故答案为： 【分析】用特殊值代入，从而得出A中的元素。14.若复数 (其中 为虚数单位)所对应的向量分别为 和 ，则 的面积为_. 【答案】【考点】余弦定理 【解析】【解答】因为 ， ， ， 所以 ， ， .由余弦定理可得 ,所以 ，所以 的面积 .故答案为： 【分析】由题意求出各复数的
19、模，再根据余弦定理求出 ，由面积公式可得 的面积 。15.我省高考实行3+1+2模式，高一学生A和B两位同学的首选科目都是历史，再选科目两人选择每个科目的可能性均等，且他们的选择互不影响，则他们选科至少有一科不同的概率为_. 【答案】【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】【解答】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有: 化学，生物，化学，政治，化学，地理，生物，政治，生物，地理，政治，地理共6种选法.由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有N=66=36种，其中两人的选科完全相同的选法有6种，所以她们的选科至少有一科不相同的概率 故答案为： 【分析】利
20、用列举法求出每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有6种选法，由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有N=66=36种，由此利用对立事件概率计算公式能求出她们的选科至少有一科不相同的概率。16.已知，如图，正方体 棱长为 ， 为 上的动点，则 的是小值为_. 【答案】【考点】棱柱的结构特征 【解析】【解答】如图，将 沿 翻转，使点 转到的对应点 在平面 内则 故 从而， 当且仅当 为 与 的交点时，上式等号成立故答案为： 【分析】将 沿 翻转，使点 转到的对应点 在平面 内，利用余弦定理解三角形可得 的是小值 。四、解答题17.某地一天的时间 ，单位：时)随气温 变化的
21、规隼可近似看成正弦函数 的图象，如图所示. （1）根据图中数据，试求 的表达式. （2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于 ，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？ 【答案】 （1）解：依题意可得 解得 ，又 即 ，解得 ，所以 ，又函数过点 ，所以 ，即 ，所以 ，解得 ，因为 ，所以 ，所以 （2）依题意令 ，即 所以 解得 因为 所以 ，又 即老张可在 外出活动，活动时长最长不超过8小时；【考点】正弦函数的单调性，由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【解析】【分析】（1）利用图像中的最值求解A,B，由周
22、期求解 ， 特殊点求解 ， 即可得到函数解析式； （2）由（1）中的结论，建立三角不等式求解，即可得到答案。18.已知.如图，正方形ABCD的边长为1，P ， Q分别为边BC ， CD上的点. （1） .求 ； （2）当 的周长为2时，求 的大小. 【答案】 （1）因为 , （2）设 ， ， ，其中 、 、 ； 则 ， ， 的周长为 ，解得 则 ，同理 ； ， ， 【考点】平面向量数量积的运算，两角和与差的正切公式 【解析】【分析】（1） 因为, ， ， 计算可得； （2） 设 ， ， ， 其中、 ，则 ， ，由 的周长为2得 ，利用两角和的正切公式进行计算可得 的大小.19.新冠疫苗接种是能
23、构建人群免疫屏陈，阻断病毒传挪，国家卫健委宣布至2021年6月14日，我国已累计报告接种新冠病毒疫苗超9亿剂次.在某社区接种点，随机抽取了100名来接种疫苗的市民，统计其在接种点等待接种的时间(等待时间不超过40分钟)，将统计数据按 分组，制成以下频率分布直方图. （1）由所给的频率分布直方图： 估计该接种点市民等待时间的上四分位数；(结果保留一位小数)记A事件为该接种点居民等待接种时间少于30分钟”，试估计件A的概率.（2）为鼓励市民踊跃接种，在该接种点接种疫苗的市民有机会获取小礼物；现场有1个箱子，箱子中有质地相同的10个小球，其中9个蓝球，1个红球，每个完成接种的市民有两种选择，选择1：
24、每次摸出1球，有放回地摸10次；选择2：每次可摸出2球，有放回地摸5次.两种选择至少能摸出一个红球即可获赠小礼物，则哪种选择获得小礼物的概率较大？说明理由. 【答案】 （1）前两组的频率和是 ，所以四分位数在第二组，设四分位数为 ，满足 ， 解得： ，所以估计该接种点市民等待时间的上四分位数是 ； 的频率为 ，所以 ，（2）选择1：10次都没有摸到红球的概率 , 所以至少有一次摸到红球的概率 ,即获赠小礼物的概率是 ；选择2：1次没有摸到红球的概率 ，那么5次都没有摸到红球的概率 ，所以至少有1次摸到红球的概率 ,即获赠小礼物的概率是 . ，所以选择2获得小礼物的概率大.【考点】频率分布直方图
25、，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 【解析】【分析】（1） 根据频率分布直方图可得， 前两组的频率和是 ， 所以四分位数在第二组，设四分位数为 ， 满足 ， 解等式，即可得出；由的频率为 ， 可得 ； （2） 选择1：10次都没有摸到红球的概率,所以至少有一次摸到红球的概率,即可得出获赠小礼物的概率；选择2：1次没有摸到红球的概率 ， 即可得出 5次都没有摸到红球的概率 ，进而得出获赠小礼物的概率，进行比较，即可得出结论。20.已为 c分别为 三内角 的对边，且 （1）求 . （2）若 ， 的平分线 ，求 的面积 . 【答案】 （1） ， ， 或 （舍）或 （2）如图，设 ，则 ， 在 中
26、，由正弦定理有 ，即 ， ， ， ， ，【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦定理 【解析】【分析】 (1)由已知等式及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求得 ,由题意可求或 进而解得A的值； (2)在ABD中，由正弦定理得 ， 即 ， 进而利用三角形面积公式即可计算得解.21.设函数 定义在 上的奇函数. （1）若不等式 有解，求实数 的取值范围； （2）若 ，求满足条件的a的取值范围. 【答案】 （1）由条件可知 ，即 ，得 ， ，满足 ，不等式 有解，即 ，所以 ，设 ，设 ， ，当 时， 的最大值是2，所以 ；（2） 是奇函数， ，且函数 是增函数-减函数=增函数， ，即 ，整理为 ，
27、 ，即 或 ，解得： 【考点】函数奇偶性的性质，二次函数在闭区间上的最值 【解析】【分析】（1）问题转化为 ，结合二次函数性质求最值即可得到k的取值范围； （2）结合函数的单调性与奇偶性把原不等式转化为 ， 进而得到 ，解方程即可得到的取值范围。22.如图，直三棱柱 中， ，M为侧梭 的中点. （1）试探究在 上是否存在点 ，使 面 ，若存在，试证明你的结论；若不存在，请说明理由. （2）若 与平面 所成角的正弦值为 ，求该三棱柱的体积. 【答案】 （1）存在点 为 的中点，使 面 , 取 的中点 ，连接 , , 如图，在直三棱柱 中，由M为侧梭 的中点，所以 且 ，因为 分别为 的中点，所以 且 ，所以 且 ,所以四边形 为平行四边形，所以 ,又 平面 ， 平面 ，所以 平面 （2）设 ， 到面 的距离为 ， 在 中， ，同理 ，因为 , ,所以 平面 ，故 ,所以 ,又 ,因为 ，所以 ,即 解得 ，设 与平面 所成角为 ，则 解得 ，所以直三棱柱的体积 ,【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角 【解析】【分析】（1） 取的中点 ， 有线面平行的判定定理可证明 平面 ； （2）利用 与平面所成角的正弦值为 ，等体积转化先求点 到面的距离为 ，再列方程求出BC的长度，再根据柱体体积公式求解即可。