1、课后限时集训(五十四)抛物线建议用时：40分钟一、选择题1点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236yD将yax2化为x2y.当a0时，准线y，则36，a.当a0时，准线y，则6，a.抛物线方程为x212y或x236y.2(2020泰安模拟)已知抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p()A1B C2D2B由题意，在抛物线上，代入抛物线方程可得1，p0，p，故选B.3(2020北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点
2、为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线()A经过点OB经过点PC平行于直线OPD垂直于直线OPB如图所示：因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.4(多选)(2020辽宁锦州月考)以下四个命题中，真命题的序号是()平面内到两定点距离之比等于常数(1)的点的轨迹是圆；平面内与定点A(3,0)和B(3,0)的距离之差等于4的点的轨迹方程为1；点P是抛物线x24y上的动点，点P在x轴上的射影是M，点A的坐标是A(1,0)，则|PA|PM|的最小值是1；已知点
3、P为抛物线y24x上一个动点，点Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是1.AB CDAD对于，平面内到两定点的距离之比为定值(不等于1)的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，所以正确；对于，根据题意，结合双曲线的定义，可知题中点的轨迹是双曲线的一支，所以错误；对于，根据题意，结合抛物线的定义，可求得|PA|PM|的最小值应为1，所以错误；对于，根据抛物线的定义，可知抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离是相等的，将其转化为到焦点的距离，结合圆的相关性质可知是正确的5(多选)(2020山东胶州一中月考)已知抛物线y24x上一点P到准线的距
4、离为d1，到直线l：4x3y110的距离为d2，则d1d2的取值可以为()A3B4 C.DABD抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F(1,0)的距离，过焦点F作直线4x3y110的垂线，则F到直线的距离为d1d2的最小值，如图所示：所以(d1d2)min3，故选ABD.6(2020江西萍乡一模)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线l：x1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x1上的射影为A，且直线AF的斜率为，则MAF的面积为()A.B2 C4D8C如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|2.直线AF的斜率为，AFN60.MAF60，|AF|4.由抛物线的定义可得|MA|MF|
5、，AMF是边长为4的等边三角形SAMF424.故选C.二、填空题7已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(2,0)，则抛物线C的方程是_；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|_.y28x6抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(2,0)，可得p4，则抛物线C的方程是y28x.由M为FN的中点，得M的横坐标为1，代入抛物线方程得y2，则M(1，2)，则点N的坐标为(0，4)，所以|FN|6.8如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米2建立平面直角坐标系如图所示，设抛物线方程为x22py(p0)由题意可知抛物线过点
6、(2，2)，故44p，p1，x22y.故当y3时，x26，即x.所以当水位降1米后，水面宽2米9已知抛物线y24x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF|_.法一：由题意可知F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，则|AF|xA13，所以xA2，yA2，所以直线AB的斜率为k2.则直线AB的方程为y2(x1)，与抛物线方程联立整理得2x25x20，xAxB，所以xB，所以|BF|1.法二：由可知1，|BF|.三、解答题10.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x2)2y24的圆心恰是抛物线的焦点(1)求抛物线的方程；(2)一条直线的斜率等于
7、2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A，B，C，D四点，求|AB|CD|的值解(1)设抛物线方程为y22px(p0)，圆(x2)2y222的圆心恰是抛物线的焦点，p4.抛物线的方程为y28x.(2)依题意直线AB的方程为y2x4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则得x26x40，x1x26，|AD|x1x2p6410.|AB|CD|AD|CB|1046.11.如图，已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为AGB的平分线解(1)由抛物线定义可得|AF|
8、23，解得p2.抛物线E的方程为y24x.(2)证明：点A(2，m)在抛物线E上，m242，解得m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)，由A(2,2)，F(1,0)，直线AF的方程为y2(x1)，由得2x25x20，解得x2或，B.又G(1,0)，kGA，kGB，kGAkGB0，AGFBGF.GF为AGB的平分线1已知P是抛物线y24x上的一个动点，Q是圆(x3)2(y1)21上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|PN|的最小值为()A3B4 C5D1A由抛物线方程y24x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合过圆(x3)2(y1)21的圆心M作抛物线准线
9、的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.2(2020济宁三模)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足2，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为()AB CDB由题意得抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，|AF|2|BF|，x112(x21)，x12x21，|y1|2|y2|，y4y，x14x2，x12，x2.线段AB的中点到该抛物线准线的距离为(x11)(x21).故选B.3已知点A(m,4)(m0)在抛物线x24y上，过点A作倾斜角互补的两条直
10、线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C.(1)求证：直线BC的斜率为定值；(2)若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围解(1)证明：点A(m,4)在抛物线上，16m2，m4，又m0，m4.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则kABkAC0，x1x28.kBC2，直线BC的斜率为定值2.(2)设直线BC的方程为y2xb，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则kPQ，x01.M(1，2b)又点M在抛物线内部，2b，即b.由得x28x4b0，x3x48，x3x44b.|BC|x3x4|.又b，|BC|10.|BC|
11、的取值范围为(10，)1(多选)(2020黑龙江大庆一中月考)如图，过抛物线y28x的焦点F，斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线准线交于C点，若B是AC的中点，则()AkBk2C|AB|9D|AB|10BC如图，设A，B在准线上的射影分别为D，E，连接AD，BE，设ABBCm，直线l的倾斜角为，则|BE|m|cos |，所以|AD|AF|AB|BF|AB|BE|m(1|cos |)，|cos |，解得|cos |，所以|sin |，故|k|tan |2.由抛物线焦点弦的弦长公式|AB|可得|AB|9.综上，选BC.或：由|cos |得tan 2，可得直线方程设A(xA，yA)，B
12、(xB，yB)，将直线方程与抛物线方程联立，进而可解得xAxB5，于是|AB|xAxB49.故选BC.2(2020静安区二模)已知抛物线：y24x的焦点为F，若ABC的三个顶点都在抛物线上，且0，则称该三角形为“核心三角形”(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由；(2)设“核心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为4，求直线AB的方程；(3)已知ABC是“核心三角形”，证明：点A的横坐标小于2.解(1)抛物线：y24x的焦点为F(1,0)，由0，得1，0，故第三个顶点的坐标为3(1,0)(0,0)(1,2)(2，2)，但点(2，2)不满足抛物
13、线的方程，即点(2，2)不在抛物线上，所以这样的“核心三角形”不存在(2)设直线AB的方程为y4xt，与y24x联立，可得y2yt0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，y1y21，x1x2(y1y22t)t，由(x1x2x3，y1y2y3)(3,0)，可得x3t，y31，代入方程y24x，可得112t1，解得t5，所以直线AB的方程为4xy50.(3)证明：设直线BC的方程为xnym，与y24x联立，可得y24ny4m0，因为直线BC与抛物线相交，故判别式16(n2m)0，y1y24n，所以x1x2n(y1y2)2m4n22m，可得点A的坐标为(4n22m3，4n)，又因为A在抛物线上，故16n216n28m12，可得m4n2，因为mn2，所以n2，故A的横坐标为4n22m34n28n24n22.