1、2021年河南省洛阳市高考数学第二次考试试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1已知集合Mx|4x2，Nx|0，则MN（）Ax|4x3Bx|4x2Cx|2x2Dx|2x32若复数z满足（3+4i）z|43i|，则z的虚部为（）AB4CD43已知平面，直线m，n满足m，n，则“m”是“mn”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4设x，y满足，则（x+1）2+y2的取值范围是（）A0，10B1，10C1，17D0，175记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S530，则an的公差为（）A1B2C4D86已知a，b，c均为正实数，若c，则（）AcabB
2、cbaCabcDbac7已知双曲线的一条渐近线经过圆P：x2+y22x4y+40的圆心，则C的离心率为（）ABCD8中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）A96里B72里C48里D24里9已知函数f（x）2sin2（x+）+sin（2x+）1，则下列判断正确的是（）Af（x）的图象关于对称Bf（x）为奇函数Cf（x）的值域为3，1Df（x）在上是增函数1
3、0已知三棱锥OABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若ABBC2，ABC120，且三棱锥OABC的体积为，则球O的半径为（）A2B5C13D11过抛物线y22px（p0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且2，抛物线的准线l与x轴交于C，ACF的面积为8，则|AB|（）A6B9C9D612在正四棱柱（侧面为矩形，底面为正方形的棱柱）ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）AEFBB1BEFBDCEF与CD为异面直线DEF与A1C1为异面直线二、填空题（共4小题）.13某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三
4、多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 14已知点P在曲线yx3x上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是 15平面向量、满足，且|2，|4，则与的夹角等于 16已知函数f（x）ex+b的一条切线为ya（x+1），则ab的最小值为 三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b，B，cosC（1）求c的值；（2）求ABC的面积18如图1所示，在直角梯形ABCD中，ADC90，ABCD，ADCDAB2，E为AC的中
5、点，将ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，得到如图2所示的几何体DABC（1）求证：BC平面ACD；（2）点F在棱CD上，且满足AD平面BEF，求几何体FBCE的体积19改革开放以来，我国经济持续高速增长如图给出了我国2010年至2019年第二产业增加值与第一产业增加值的差值（以下简称为：产业差值）的折线图，记产业差值为y（单位：万亿元）（1）求出y关于年份代码t的线性回归方程；（2）利用 （1）中的回归方程，分析20102019年我国产业差值的变化情况，并预测我国产业差值在哪一年约为34万亿元；（3）结合折线图，试求出除去2014年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方
6、差（结果精确到0.1）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，样本方差公式：s2（yi）2参考数据：yi10.8，（ti）（yi）132，（yi）2211.6注：年份代码110分别对应年份2010201920已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且EOF的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，若点F恰为EAB的重心，求直线l的方程21已知函数f（x）xlnx（1）求f（x）的最小值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n（n2），（1+）（1+）（1+）m，求m的最小值选修4-4：极坐标与参数方程22在直角坐标
7、系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）经过伸缩变换：后，曲线C1变为曲线C2（1）求曲线C1和曲线C2的普通方程；（2）已知点P是曲线C2上的任意一点，曲线C1与x轴和y轴正半轴的交点分别为A，B，试求PAB面积的最大值和此时点P的坐标选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+2|x+a|（1）当a1时，画出yf（x）的图象；（2）若关于x的不等式f（x）3a有解，求a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合Mx|4x2，Nx|0，则MN（）Ax|4x3Bx|4x2Cx|2x2Dx|2x3解：Mx|4x2，Nx|0x|2x3，MNx|4x3，故选：A2若复数z满足（3+
8、4i）z|43i|，则z的虚部为（）AB4CD4解：由（3+4i）z|43i|，得z，z的虚部为故选：C3已知平面，直线m，n满足m，n，则“m”是“mn”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：因为m，n，当m时，m与n不一定平行，即充分性不成立；当mn时，满足线面平行的判定定理，m成立，即必要性成立；所以“m”是“mn”的必要不充分条件故选：B4设x，y满足，则（x+1）2+y2的取值范围是（）A0，10B1，10C1，17D0，17解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），（x+1）2+y2的几何意义为可行域内动点与定点P（1，0）距离的
9、平方，由图可知，可行域内动点与定点P（1，0）距离的最小值且为1，最大值为|PA|，（x+1）2+y2的取值范围是1，17故选：C5记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S530，则an的公差为（）A1B2C4D8解：因为等差数列an中，a4+a524，S530，所以，解得d4，a12，故选：C6已知a，b，c均为正实数，若c，则（）AcabBcbaCabcDbac解：，利用函数y2x，ylog，y（）x，ylog2x，如图所示：由图象可得：abc，故选：C7已知双曲线的一条渐近线经过圆P：x2+y22x4y+40的圆心，则C的离心率为（）ABCD解：由圆P：x2+y22x4y+40
10、，得P（1，2），由双曲线，得渐近线方程为yax，则a2c，即C的离心率为e故选：A8中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）A96里B72里C48里D24里解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得378，解得a1192，此人第二天走19296里，此人第四天走192（）324里，第二天比第四天多走了962472里，
11、故选：B9已知函数f（x）2sin2（x+）+sin（2x+）1，则下列判断正确的是（）Af（x）的图象关于对称Bf（x）为奇函数Cf（x）的值域为3，1Df（x）在上是增函数解：f（x）2sin2（x+）+sin（2x+）12sin（2x+），由于x时，函数值为2为函数的最大值，满足对称的性质，故A正确，故选：A10已知三棱锥OABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若ABBC2，ABC120，且三棱锥OABC的体积为，则球O的半径为（）A2B5C13D解：设ABC的外接圆的圆心为O1，半径为r，在ABC中，ABBC2，ABC120，由余弦定理可得，由正弦定理可得，解得r2，所以，又三
12、棱锥OABC的体积为，所以，故三棱锥OABC的高OO13，所以球O的半径为故选：D11过抛物线y22px（p0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且2，抛物线的准线l与x轴交于C，ACF的面积为8，则|AB|（）A6B9C9D6解：由抛物线的方程可得焦点F（，0），有题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：xmy+，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线与抛物线联立可得：，整理可得y22mpyp20，y1+y22mp，y1y2p2，因为2，即（x1，y1）2（x2，y2），所以可得：y12y2，|y1|2|y2|p，所以SCFA|CF|y1|8，解得：p4，所以抛物线的
13、方程为：y28x，所以|AB|x1+x2+pm（y1+y2）+2p2m2p+2p24+89，故选：B12在正四棱柱（侧面为矩形，底面为正方形的棱柱）ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）AEFBB1BEFBDCEF与CD为异面直线DEF与A1C1为异面直线【解答】解在正四棱柱（侧面为矩形，底面为正方形的棱柱）ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，连接AC，B1C，则F是B1C的中点，EF是ACB1的中位线，EFACA1C1，故D错误；BB1平面ABCD，AC平面ABCD，BB1AC，EFBB1，故A正确；四边形ABCD是
14、正方形，ACBD，EFAC，EFBD，故B正确；EFAC，EF平面ABCD，AC平面ABCD，EF平面ABCD，CDACC，EF与CD为异面直线，故C正确故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为78解：高一480人，高二比高三多30人，设高三x人，则x+x+30+4801290，解得x390，故高二420，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数
15、为78故答案为：7814已知点P在曲线yx3x上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是0，），）解：yx3x，y3x211，tan1，0，过P点的切线的倾斜角的取值范围是0，），），故答案为：0，），）15平面向量、满足，且|2，|4，则与的夹角等于解：由题设得816+4，故4所以，两向量夹角的余弦为可求得两向量夹角大小是故答案为16已知函数f（x）ex+b的一条切线为ya（x+1），则ab的最小值为解：设切点为（m，n），可得em+bn，由函数f（x）ex+b的导数f（x）ex，可得切线的斜率为ema，且em+ba（m+1），可得balna，则aba2lna，设g（a）a2lna，a
16、0，则g（a）a（2lna+1），当0a时，g（a）0，g（a）递减；a时，g（a）0，g（a）递增，可得g（a）在a处取得最小值，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b，B，cosC（1）求c的值；（2）求ABC的面积解：（1）因为b，B，cosC，所以sinC，由正弦定理得，故c；（2）由余弦定理得cosC，故，整理得，a24a+30，解得a1或a3，当a1时，SABC，当a3时，SABC18如图1所示，在直角梯形ABCD中，ADC90，ABCD，ADCDAB2，E为AC的中点，将AC
17、D沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，得到如图2所示的几何体DABC（1）求证：BC平面ACD；（2）点F在棱CD上，且满足AD平面BEF，求几何体FBCE的体积【解答】（1）证明：由图1可知ACBC，所以AC2+BC2AB2，所以ACBC，取AC中点E，连接DE，则DEAC，又平面ACD平面ABC，又平面ACD平面ABCAC，DE平面ACD，所以ED平面ABC，而BC平面ABC，所以EDBC，又ACBC，ACEDE，所以BC平面ACD；（2）解：取DC中点F，连接EF，BF，因为E是AC的中点，所以EFAD，又EF平面BEF，AD平面BEF，所以AD平面BEF，由（1）知，BC
18、为三棱锥BACD的高，因为三棱锥FBCE的高hBC，SBCESACD1，所以三棱锥FBCE的体积VFBCESBCEh19改革开放以来，我国经济持续高速增长如图给出了我国2010年至2019年第二产业增加值与第一产业增加值的差值（以下简称为：产业差值）的折线图，记产业差值为y（单位：万亿元）（1）求出y关于年份代码t的线性回归方程；（2）利用 （1）中的回归方程，分析20102019年我国产业差值的变化情况，并预测我国产业差值在哪一年约为34万亿元；（3）结合折线图，试求出除去2014年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差（结果精确到0.1）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别
19、为：，样本方差公式：s2（yi）2参考数据：yi10.8，（ti）（yi）132，（yi）2211.6注：年份代码110分别对应年份20102019解：（1）由题意可得，所以，故10.81.65.52，所以回归直线为1.6t+2；（2）由（1）值，1.60，故20102019年我国产业差值逐年增加，平均每年增加1.6万亿元，令1.6t+234，解得t20，故预测我国产业差值在2029约为34万亿元；（3）结合折线图，2014年产业差值为10.8万亿元，除去2014年（t5时）产业差值外的9年的产业差值的平均值为，又，故除去2014年（t5时）产业差值外的9年的产业差值的方差为20已知椭圆C：1
20、（ab0）的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且EOF的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，若点F恰为EAB的重心，求直线l的方程解：（1）依据题意得，解得a，b2，c，所以椭圆C的方程为+1（2）延长EF交直线l于点D，因为点F为EAB的重心，所以点D为线段AB的中点，由点E（0，2），F（，0），得D（，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由，得（x1x2）+（y1y2）0，所以+0，所以kAB，所以直线l的方程为y1（x），即x+y4021已知函数f（x）xlnx（1）求f（x）的最小值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n
21、（n2），（1+）（1+）（1+）m，求m的最小值解：（1）f（x）1，当x（0，1）时，f（x）0，故f（x）在（0，1）单调递减，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）在（1，+）单调递增，故f（x）f（1）1，故f（x）的最小值为1；（2）由（1）可得，f（x）xlnx1即lnxx1，所以ln（1+），kN*，n2，则ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+ln2，故ln（1+）（1+）（1+）ln2，所以（1+）（1+）（1+）2，又因为（1+）（1+）（1+）1，故对任意正整数n，（1+）（1+）（1+）m的整数m的最小值为2选修4-4：极坐标与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲
22、线C1的参数方程为（为参数）经过伸缩变换：后，曲线C1变为曲线C2（1）求曲线C1和曲线C2的普通方程；（2）已知点P是曲线C2上的任意一点，曲线C1与x轴和y轴正半轴的交点分别为A，B，试求PAB面积的最大值和此时点P的坐标解：（1）由题设知：曲线C1的参数方程为，由2+2得：x2+y24，经过伸缩变换：后，曲线C1变为曲线C2，所以，整理得，即：（2）曲线C1与x轴和y轴正半轴的交点分别为A，B，即x2+y24与x轴的正半轴的交点坐标为A（2，0），与y轴的正半轴交点的坐标为B（0，2），所以直线AB的方程为x+y20所以：直线AB的斜率为1，直线AB的垂直平分线的斜率为k1，点A和B的中点为（），即（1，1）所以l的方程为yx，所以，解得，故P（）或P（），点P（）到直线AB的距离最大，且d，所以选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+2|x+a|（1）当a1时，画出yf（x）的图象；（2）若关于x的不等式f（x）3a有解，求a的取值范围解：（1）a1时，f（x）|x+2|x+1|，其图像为：（2）若关于x的不等式f（x）3a有解，即f（x）max3a，f（x）|x+2|x+a|x+2xa|2a|，|2a|3a，2a3a或2a3a，故a或a1，故a，故a的取值范围是（，
