1、抛物线的简单几何性质1.（2021北京朝阳高二期中）直线l 过抛物线y2=2x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点A(x1,y1) ，B(x2,y2) .若x1+x2=3 ，则弦AB 的长是( )A.4B.5C.6D.8答案：A2.（2021北京丰台高二期中）已知抛物线M:x2=2py(p0) 的焦点与双曲线N:y23-x2=1 的一个焦点重合，则p= ( )A.2 B.2C.25+1 D.4答案：D3.（2021北京第五十五中学高二月考）已知抛物线y2=2px(p0) 经过点M(2,y0) ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|= ( )A.2B.22 C.4D.23答案：D
2、4.已知抛物线y2=2px(p0),F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，A(x1,y1) ，B(x2,y2) 为抛物线上的两点，线段AB 的中点到抛物线准线的距离为5，ABO 的重心为F ，则p= ( )A.1B.2C.3D.4答案：D5.已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=12 ，点P 为C 的准线上一点，则ABP 的面积为( )A.18B.24C.36D.48答案：C6.如图，过抛物线y2=2px(p0) 的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C .若|BC|=2|BF| ，且|AF|=3 ，则该抛物线的方程为(
3、)A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2=x答案：C7.已知抛物线y2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线交于A ，B 两点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF 的平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q .若|AB|=8 ，则|PQ|= .答案：4素养提升练8.（多选题）已知F 是抛物线C:y2=16x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则( )A.C 的准线方程为x=-4B.F 点的坐标为(0，4)C.|FN|=12D.三角形ONF 的面积为162 （O 为坐标原点）答案：A; C; D解析：如
4、图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F ，作MBl 于点B ，NAl 于点A .由题意可得抛物线的准线方程为x=-4 ，F 点的坐标为(4，0) ，则|AN|=4,|FF|=8 ，故A正确，B错误；在直角梯形ANFF 中，中位线BM 的长为|AN|+|FF|2=6 ，由抛物线的定义得|MF|=|MB|=6 ，结合题意，有|MN|=|MF|=6 ，故|FN|=|FM|+|NM|=6+6=12 ，|ON|=122-42=82 ，SONF=12824=162 ，故C、D正确.9.（2021山东济宁高二期末）已知抛物线y2=2x 的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若A(
5、-12,0) ，则当|PA|PF| 取最大值时,|PF|= ( )A.12 B.1C.32 D.2答案：B解析：因为点P 为该抛物线上的动点，所以设点P 的坐标为(y022,y0) ，由题意知F(12,0) ，抛物线的准线方程为x=-12 ，因此|PF|=y022-(-12)=y022+12 ，令|PF|=y022+12=ty02=2t-1(t12) ，则|PA|PF|=(y022+12)2+y02y022+12=t2+2t-1t=1+2t-1t2=-(1t-1)2+2 ，当1t=1 ，即t=1 时，|PA|PF| 有最大值，最大值为2，此时|PF|=1 .10.（多选题）已知抛物线x2=12
6、y 的焦点为F ，M(x1,y1) ，N(x2,y2) 是抛物线上两点，则下列结论正确的有( )A.点F 的坐标为(18,0)B.若直线MN 过点F ，则x1x2=-116C.若MF=NF ，则|MN| 的最小值为12D.若|MF|+|NF|=32 ，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58答案：B; C; D解析：易知点F 的坐标为(0,18) ，故A中结论错误；根据抛物线的性质知，MN 过焦点F 时，x1x2=-p2=-116 ，故B中结论正确；若MF=NF ，则MN 过点F ，则|MN| 的最小值即抛物线通径的长，为2p=12 ，故C中结论正确；抛物线x2=12y 的准线方程为y=-1
7、8 ，过点M ，N ，P 分别作准线的垂线MM ，NN ，PP ，垂足分别为M ，N ，P ，所以|MM|=|MF| ，|NN|=|NF| ，所以|MM|+|NN|=|MF|+|NF|=32 ，所以|PP|=|MM|+|NN|2=34 ，所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为|PP|-18=34-18=58 ，故D中结论正确.11.已知直线y=k(x+2)(k0) 与抛物线C:y2=8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点.若|FA|=2|FB| ，则k= ( )A.13 B.23 C.23 D.223答案：D解析：设A、B 的坐标分别为(x1,y1) 、(x2,y2) ，由y=k(x+
8、2),y2=8x, 消去y 得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0 ，x1+x2=4(2-k2)k2 ，x1x2=4 .由抛物线的定义得|AF|=x1+2 ，|BF|=x2+2 ，|FA|=2|FB| ，x1+2=2x2+4x1=2x2+2 ，代入x1x2=4 得x22+x2-2=0 ，x2=1 或x2=-2 （舍去），x1=4 ，4(2-k2)k2=5 ，k2=89 ，k0 ，k=223 .12.过点(2,22) 的抛物线C 的对称轴是x 轴，顶点在坐标原点，直线l:y=2x-2 交抛物线C 于A ，B （A 在B 的上方）两点.（1）求抛物线的标准方程；（2）试问：在抛物线AOB 这段曲
9、线上是否存在一点P ，使PAB 的面积最大？若存在，求出PAB 的最大面积；若不存在，请说明理由.答案：（1）由已知可设抛物线方程为y2=mx(m0) ，把点(2,22) 代入，得(22)2=2m ，解得m=4 ，所以抛物线的方程为y2=4x .（2）如图，由y=2x-2,y2=4x 得x2-3x+1=0 ，设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则x1=3+52 ，x2=3-52 ，x1+x2=3 ，所以y1=2x1-2=1+5 ，y2=2x2-2=1-5 ，所以|AB|=x1+x2+p=5 .设P(x0,y0) 为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则d=|2x0-y0-2|5=15|y022-y0-2|=125|(y0-1)2-5| ，因为1-5y01+5 ，所以当y0=1 时，dmax=525=52 ，所以(SPAB)max=123552=154 ，当y0=1 时，x0=14 ，即P(14,1) ，所以存在点P(14,1) 满足题意，此时PAB 的面积最大，为154 .5
