1、第四讲直线、平面平行的判定与性质A组基础巩固一、单选题1(2021河南郑州、商丘名师联盟联考)过平面外的直线l，作一组平面与相交，若所得交线为a，b，c，则这些交线的位置关系为(A)A平行或交于同一点B相交于同一点C相交但交于不同的点D平行解析若l，则la，lb，lc，abc.若lP，则a，b，c，交于点P.2(2021辽宁沈阳东北育才学校模拟)在空间中，下列命题中为真命题的是(D)A垂直于同一直线的两条直线平行B平行于同一平面的两条直线平行C垂直于同一平面的两个平面平行D平行于同一平面的两个平面平行3(2021黑龙江大庆让胡路区联考)已知m，n是直线，是平面，且m，则下列结论中正确的是(B)
2、An，都有mnBn，使mnCnm，都有nDn，使mn解析由m，n是直线，是平面，且m，得：对于A，n，则m，n平行或异面，故A不正确；对于B，n，使mn，故B正确；对于C，nm，则n或n，故C不正确；对于D，若n，因为m，所以mn，故D不正确，故选B.4(2021湖北武汉模拟)设、为平面，a、b为直线，给出下列条件：a，b，a，b；，；，；a，b，ab其中能推出的条件是(C)ABCD解析有如下反例：故，不能推出；面面平行的判定：平行于同一个平面的两个平面平行，能推出；有如下反例：故，不能推出；面面平行的推论：如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行，能推出.故选：C5(2021山东泰安期末)
3、有两条不同的直线m，n与两个不同的平面，下列命题正确的是(A)Am，n，且，则mnBm，n，且，则mnCm，n，且，则mnDm，n，且，则mn解析对于A，由m，n，且得mn，故正确；对于B，由m，n，得mn，故错误；对于C，由m，n，且得mn或m，n相交或异面，故错误；对于D，由m，n，且得m，n的关系可以是相交或平行或异面，故错误故选A.6若P为异面直线a，b外一点，则过P且与a，b均平行的平面(B)A不存在B零个或一个C可以有两个D有无数多个解析记a与P所确定的平面为，当b时，与a，b均平行的平面不存在，当b不平行时，与a，b均平行的平面有一个，故选B.7(2021湖南省长沙市长郡中学月考
4、)如图所示的四个正方体中，A，B分别为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号为(D)ABCD解析由题意结合正方体的性质：如图，平面ABC平面MNP，则AB平面MNP，正确；如图，平面ABC平面MNP，则AB平面MNP，正确；如图，平面ABC平面MNP，则AB平面MNP，正确；如图，平面AB平面MNPA，则错误；故选D.8(2021衡水中学调研卷)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上点，当PA平面EBF时，(D)ABCD解析连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA平面EBF，PA平面PAC，平面PAC平面EBFFG，所
5、以PAFG，所以.因为ADBC，ADBC，E为AD的中点，所以，所以.二、多选题9(2021辽宁省测评)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧棱AA1底面ABC，D为AB的中点，若AB2，AA1，则(AC)ACDA1DB异面直线A1D与AC1所成角的余弦值为C异面直线A1D与AC1所成角的余弦值为DCD平面AB1C1解析易知CD平面ABB1A1，CDA1D，所以A项正确；若CD平面AB1C1，又BCB1C1，显然BC平面AB1C1，平面BCD平面AB1C1，这显然不成立，所以D项不正确；过点A在平面ABB1A1内作直线A1D的平行线交B1A1的延长线于点D1，连接C1D
6、1，易知异面直线A1D与AC1所成的角等于D1AC1，在D1AC1中，可知D1AD1C1，AC1，所以异面直线A1D与AC1所成角的余弦值为.所以C项正确10(2021山东乐陵一中模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的有(AD)A直线A1BB直线BB1C平面A1DC1D平面A1BC1解析如图，A1BD1C，又A1B平面ACD1，A1B平面ACD1，A正确；BB1与平面ACD1相交，B错误；DC1与CD1相交，平面ACD1与平面A1DC1相交，C错误；A1C1AC，A1C1平面ACD1，A1C1平面ACD1，又A1BA1C1A，平面ACD1平面A1BC1，D
7、正确；故选AD.11(2021安徽安庆模拟改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、Q分别是棱D1C1，A1D1、BC的中点，点P在BD1上且BPBD1，则下列说法中正确的是(BC)AMN平面APCBC1Q平面APCCA、P、M三点共线D平面MNQ平面APC解析对于A.连接MN，AC，则MNAC，连接AM、CN，易得AM、CN交于点P，即MN平面APC，所以MN平面APC是错误的；对于B.由A知M、N在平面APC内，由题易知ANC1Q，所以C1Q平面APC是正确的；对于C由A知，A，P，M三点共线是正确的；对于D.由A知MN平面APC，又MN平面MNQ，所以平面MNQ平面APC是错误的
8、故选B、C三、填空题12(2021桂林二模)已知a，b，c为三条不重合的直线，为两个不重合的平面，给出下列四个命题：ab，bcac；a，bab；a，a；a，b，aba.其中正确的命题是 .(写出所有正确命题的序号)解析根据线线平行的传递性，可知正确；若a，b，则a，b可能平行、相交、异面，故不正确；若a，则a或a，故不正确；由线面平行的判定定理可知正确故正确的命题是.13已知平面，点A，C，B，D，直线AB与直线CD交于点S，且AS8，BS9，CD34，则CS的长为 16或272 .解析本题主要考查两平面平行的性质定理当点S在两平行平面之间时，如图1所示，直线AB与直线CD交于点S，直线AB与
9、直线CD可确定一个平面，且AC，BD.，ACBD，即，得，解得CS16.当点S在两平行平面的同侧时，如图2所示，由知ACBD，则有，即，解得CS272.14.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件 点M在线段FH上(或点M与点H重合) 时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 解析连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只需MFH，则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.四、解
10、答题15(2021浙江模拟)如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点(1)求证：BE平面DMF；(2)求证：平面BDE平面MNG.解析(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的
11、两条相交直线，所以平面BDE平面MNG.B组能力提升1设、是三个互不重合的平面，m、n为两条不同的直线给出下列命题：若nm，m，则n；若，n，n，则n；若，则；若nm，n，m，则.其中真命题是(C)A和B和C和D和解析若nm，m，则n或n，即命题不正确，排除A、B；若，n，n，则n，则命题正确，排除D，故应选C2(2021甘肃兰州诊断)已知直线m，n和平面，则mn的一个必要条件是(D)Am，nBm，nCm，nDm，n与平面成等角解析A中，m，n可以都和平面垂直，必要性不成立；B中，m，n可以都和平面平行，必要性不成立；C中，n不一定在平面内，必要性不成立；D中，m，n平行，则m，n与成的角一定
12、相等，但反之如果两直线m，n与成的角相等则不一定平行，所以是必要不充分条件，故选D.3(多选题)(2021宜昌调研)如图，在棱长均相等的四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是(ABC)APC平面OMNB平面PCD平面OMNCOMPAD直线PD与MN所成角的大小为90解析如图，连接AC，易得PCOM，所以PC平面OMN，结论A正确同理PDON，所以平面PCD平面OMN，结论B正确由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2BC2PA2PC2AC2，所以PCPA，又PCOM，所以OMPA，结论C正确由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MNAB，又
13、四边形ABCD为正方形，所以ABCD，又三角形PDC为等边三角形，所以PDC60，所以直线PD与MN所成的角即PDC，故D错误故正确的结论为A、B、C4. (2021江西景德镇一中月考改编)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面平面AMN，则平面截该正方体所得截面的面积为(B)ABCD解析如图1，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EFB1D1，B1D1BD，所以EFBD，故EF，BD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，所以MEAB，且MEAB，所以四边形ABE
14、M是平行四边形，所以AMBE，又因为BE平面BDFE，AM平面BDFE.所以AM平面BDFE，同理AN平面BDFE，因为AMANA，所以平面AMN平面BDFE，所以平面BDFE为平面，BD，EFB1D1，DFBE，等腰梯形BDFE如图2，过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，FG，故所得截面的面积为，故选B.5(1)如图，三棱柱A1B1C1ABC中，点M是A1B1的中点求证：B1C平面AC1M.(2)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，BFDE，M为棱AE的中点求证：平面BDM平面EFC证明(1)在直三棱柱A1B1C1ABC中，侧面ACC1A1为矩形，连接A1C，交AC1于O，则O为A1C的中点，连接MO，又M为A1B1的中点，OMB1C，OM平面AC1M，B1C平面AC1M，B1C平面AC1M.(2)如图，连AC，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连接MN，又M为棱AE的中点，MNECMN平面EFC，EC平面EFC，MN平面EFCBF平面ABCD，DE平面ABCD，且BFDE，BFDE且BFDF，四边形BDEF为平行四边形，BDEF.BD平面EFC，EF平面EFC，BD平面EFC又MNBDN，MN，BD平面BDM，平面BDM平面EFC
