1、第四章第1讲A级基础达标1若f(x)xcos x，则函数f(x)的导函数f(x)()A1sin xBxsin xCsin xxcos xDcos xxsin x【答案】D2(2020年成都月考)设函数f(x)的导函数为f(x)，若f(x)exln x1，则f(1)()Ae3Be2Ce1De【答案】C3(2020年沈阳一中模拟)曲线f(x)2exsin x在点(0，f(0)处的切线方程为()Ay0By2xCyxDy2x【答案】B4一质点沿直线运动，如果由始点出发经过t秒后的位移为st3t22t，那么速度为零的时刻是()A0秒B1秒末C2秒末D1秒末和2秒末【答案】D5(多选)下列求导数的运算正确
2、的有()A(sin x)cos xBC(log3x)D(ln x)【答案】AD6已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)的值等于()A2B2CD【答案】D【解析】因为f(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2).令x2，则f(2)43f(2)，所以f(2).7已知曲线yaln xln a在x1处的切线与直线x3y10垂直，则实数a的值为_【答案】4【解析】根据题意，曲线yaln xln a，则y，则有y|x1a1.则曲线在x1处的切线的斜率ka1.若曲线在x1处的切线与直线x3y10垂直，则ka13，解得a4.8(2020年大
3、庆模拟)函数f(x)xex的图象在点P(1，e)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为_【答案】【解析】f(x)exxexex(x1)，所以切线斜率kf(1)2e，所以曲线yf(x)在(1，e)处的切线方程为ye2e(x1)，即y2exe.因为y2exe与坐标轴交于点(0，e)，所以y2exe与坐标轴围成的三角形面积Se.9已知函数f(x)sin xcos x，f(x)是f(x)的导函数(1)求函数F(x)f(x)f(x)f(x)2的最大值；(2)若f(x0)2f(x0)，求的值解：(1)已知函数f(x)sin xcos x，则f(x)cos xsin x，代入F(x)f(x)f(x)f(x)2
4、，得F(x)cos 2xsin 2x1sin1.当2x2kxk(kZ)时，F(x)max1.(2)由f(x0)2f(x0)，得sin x0cos x02(cos x0sin x0)，所以cos x03sin x0，则tan x0.所以.10已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解：(1)因为f(x)3x28x5，所以f(2)1.又f(2)2，所以曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2)的切线相切于点P(x0，x4x5x04)因为f(x0)3x8x
5、05，所以切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)又切线过点P(x0，x4x5x04)，所以x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，所以经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40，或y20.B级能力提升11已知函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为()A4BC2D【答案】A【解析】f(x)g(x)2x.因为yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，所以g(1)2.所以f(1)g(1)21224.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)
6、处的切线的斜率为4.12点P是曲线yx2ln x上的任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A1BCD【答案】D【解析】点P是曲线yx2ln x上任意一点，当过点P的切线和直线yx2平行时，点P到直线yx2的距离最小，直线yx2的斜率为1.由yx2ln x，得y2x1，解得x1或x(舍去)，故曲线yx2ln x上和直线yx2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线yx2的距离等于，故点P到直线yx2的最小距离为.13若曲线yf(x)ln xax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()ABC(0，)D0，)【答案】D【解析】f(x)2ax (x0)，根据
7、题意有f(x)0(x0)恒成立，所以2ax210(x0)恒成立，即2a(x0)恒成立，所以a0，故实数a的取值范围为0，)14(多选)已知函数f(x)及其导数f(x)，若存在x0使得f(x0)f(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是()Af(x)x2Bf(x)exCf(x)ln xDf(x)tan x【答案】AC【解析】对于A，若f(x)x2，则f(x)2x，令x22x，得x0或x2，这个方程显然有解，故A符合要求；对于B，若f(x)ex，则f(x)ex，即exex，此方程无解，B不符合要求；对于C，若f(x)ln x，则f(x)，若ln x，利
8、用数形结合法可知该方程存在实数解，C符合要求；对于D，若f(x)tan x，则f(x)，令f(x)f(x)，可得sin xcos x1，即sin 2x2，无解，D不符合要求15已知函数f(x)，g(x)x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)都相切，则直线l的斜率为_【答案】4【解析】因为f(x)，所以f(x)，设曲线f(x)与l切于点，则切线斜率k，故切线方程为y(xx1)，即yx.与g(x)x2联立，得x2x0.因为直线l与曲线g(x)相切，所以240，解得x1，故斜率k4.16已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(
9、2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知，得f(x)3ax26x6a，因为f(1)0，所以3a66a0.所以a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0,3x6x012)因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)将(0,9)代入切线方程，解得x01.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11.由f(x)0，得6x26x120，解得x1或x2.在x1
10、处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9，所以yf(x)与yg(x)的公切线是y9.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1.在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10.所以yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，存在k0，使直线m：y9是yf(x)与yg(x)的公切线C级创新突破17. 曲线y(x0)与曲线yln x的公切线的条数为()A0B1C2D3【答案】B【解析】设(x1，y1)是公切线和曲线y的切点，则切线斜率k1，切线方程为y(xx1)，整理得yx.设(x2，y2)是公切线和曲
11、线yln x的切点，则切线斜率k2，切线方程为yln x2(xx2)，整理得yxln x21.令，ln x21，消去x2，得ln x1，设tx10，即2ln t10，只需探究此方程解的个数易知f(x)2ln x1在(0，)上单调递增，f(1)30，f(e)10，于是f(x)0有唯一解，于是已知两曲线的公切线的条数为1.18(2020年凉山州模拟)已知函数f(x)aln x(a0)(1)设函数g(x)f(x)x2在点(1，g(1)处的切线方程为xy20，求a的值；(2)若曲线yf(x)与曲线yx2至少有一条公切线，求a的取值范围解：(1)因为g(x)f(x)x2，所以g(x)aln xx2，g(
12、x)2x(x0)又g(x)在(1，g(1)处的切线方程为xy20，所以g(1)1，即a21，即a3.(2)设公切线l与f(x)aln x相切于点(x0，aln x0)，则由f(x)，得f (x0)，所以公切线l为yaln x0(xx0) ，即yaaln x0(x00)由得x2aaln x0.因为直线l与曲线yx2相切，所以4(aaln x0)0，即a4x4xln x0(x00，a0)，设h(x)4x24x2ln x (x0)，则h(x)4x(12ln x)由h(x)0，得0x；又由h(x).所以h(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，所以h(x)maxh()2e，所以0a2e.所以yf(x) 与曲线yx2至少有一条公切线时，a的取值范围为(0,2e
