1、第三节导数的应用(二)全盘巩固1已知f(x)x2sin，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象是()解析：选Af(x)x2sinx2cos x，f(x)xsin x.易知该函数为奇函数，所以排除B、D.当x时，fsin0.3已知函数f(x)x3x2x，则f(a2)与f(1)的大小关系为()Af(a2)f(1) Bf(a2)f(1)Cf(a2)f(1) Df(a2)与f(1)的大小关系不确定解析：选A由题意可得f(x)x22x，令f(x)(3x7)(x1)0，得x1或x.当x0，f(x)为增函数；当1x时，f(x)0，f(x)为减函数所以f(1)是函数f(x)在(，0上的最大值，又因为a2
2、0，所以f(a2)f(1)4(2014青岛模拟)若函数yaex3x(xR，aR)，有大于零的极值点，则实数a的取值范围是()A(3,0) B(，3)C. D.解析：选A由题可得yaex3，若函数在xR上有大于零的极值点，即yaex30有正根，显然有a0，得参数a的范围为a3.综上知，3a0.5f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若a0)，则F(x).因为x0，xf(x)f(x)0，所以F(x)0，故函数F(x)在(0，)上为减函数又0a0时有0，则不等式xf(x)0的解集为()Ax|1x1或1x0 Dx|1x0时有0，即0，在(0，)上单调递
3、增f(x)为R上的偶函数，xf(x)为R上的奇函数xf(x)0，x20，0.在(0，)上单调递增，且0，当x0时，若xf(x)0，则x1.又xf(x)为R上的奇函数，当x0，则1x1或1x0，得x2，由f(x)0，得1x2，所以函数f(x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)0或f(2)0，解得a5或a4.答案：5或48已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析：由题意知f(x)x4，由f(x)0，得函数f(x)的两个极值点为1,
4、3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t1，则函数f(x)在0,1上单调递减，故只要f(0)f(1)1，即只要a2，即1|a|；若|a|1，此时f(x)minf(|a|)|a|3a2|a|a2|a|，由于f(0)0，f(1)a2，故当|a|时，f(x)maxf(1)，此时只要a2a2|a|1即可，即a2，由于|a|，故|a|110，故此式成立；当0，即aa，又f(0)a.所以要使方程f(x)k在0，)上有两个不相等的实数根，k的取值范围是.11(2014杭州模拟)天目山某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造
5、升级，从而扩大内需，提高旅游增加值经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x10)万元之间满足：yf(x)ax2xbln，a，b为常数当x10万元时，y19.2万元；当x20万元时，y35.7万元(参考数据：ln 20.7，ln 31.1，ln 51.6)(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值(利润旅游增加值投入)解：(1)由条件解得a，b1，则f(x)xln(x10)(2)由T(x)f(x)xxln(x10)，得T(x).令T(x)0，得x1(舍)或x50.当x(10,50)时，T(x)0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x(50，)时，T(x)
6、0，因此T(x)在(50，)上是减函数则x50为T(x)的极大值点，也是最大值点即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为T(50)24.4万元12已知函数f(x)axln x， g(x)ex.(1)当a0时，求f(x)的单调区间；(2)若不等式g(x)2.解：(1)f(x)的定义域是(0，)，f(x)a(x0)，当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当a0，f(x)单调递增；当x时，f(0)0，f(x)单调递减，综上所述：当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由题意：ex有解，即exxm有解，因此只需m1，且当x(0，)时，
7、ex1，所以1ex0，即h(x)0.故h(x)在(0，)上单调递减，所以h(x)0，所以m(x)在(0，)上单调递增故m(x)m(0)1，又设n(x)ln xx，x(0，)，则n(x)1，当x(0,1)时，n(x)0，n(x)单调递增；当x(1，)时，n(x)1(1)2.冲击名校设函数f(x)ln xax，g(x)exax ，其中a为实数(1)若f(x)在(1，)上是单调减函数，且g(x)在(1，)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(1，)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论解：(1)令f(x)a0，进而解得xa1，即f(x)在(a1，)上是单调减函数同理，f(x
8、)在(0，a1)上是单调增函数由于f(x)在(1，)上是单调减函数，故(1，)(a1，)，从而a11，即a1.令g(x)exa0，得xln a.当0xln a时，g(x)ln a时，g(x)0，所以xln a是g(x)的极小值点又g(x)在(1，)上有最小值，所以ln a1，即ae.综上，a的取值范围为(e，)(2)当a0时，g(x)必为单调增函数；当a0时，令g(x)exa0，解得aln a，因为g(x)在(1，)上是单调增函数，类似(1)有ln a1，即00，得f(x)存在唯一的零点()当a0时，由于f(ea)aaeaa(1ea)0，且函数f(x)在ea,1上的图象不间断，所以f(x)在(
9、ea,1)上存在零点另外，当x0时，f(x)a0，故f(x)在(0，)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点()当0ae1时，令f(x)a0，解得xa1.当0x0，当xa1时，f(x)0，即0ae1时，f(x)有两个零点实际上，对于0ae1，由于f(e1)1ae10，且函数f(x)在e1，a1上的图象不间断，所以f(x)在(e1，a1)上存在零点另外，当x(0，a1)时，f(x)a0，故f(x)在(0，a1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a1)上只有一个零点下面考虑f(x)在(a1，)上的情况先证f(ea1)a(a2ea1)e时，exx2.设h(x)exx2，则h(x)ex2x，再设l
10、(x)h(x)ex2x，则l(x)ex2.当x1时，l(x)ex2e20，所以l(x)h(x)在(1，)上是单调增函数故当x2时，h(x)ex2xh(2)e240，从而h(x)在(2，)上是单调增函数，进而当xe时，h(x)exx2h(e)eee20，即当xe时，exx2.当0ae时，f(ea1)a1aea1a(a2ea1)0，且函数f(x)在a1，ea1上的图象不间断，所以f(x)在(a1，ea1)上存在零点又当xa1时，f(x)a0，故f(x)在(a1，)上是单调减函数，所以f(x)在(a1，)上只有一个零点综合()()()，当a0或ae1时，f(x)的零点个数为1，当0ae1时，f(x)的零点个数为2.
