1、第5讲 平面向量基础过关1.已知向量a=(x,2),b=(-2,1),若ab,则x=()A.1B.-1C.4D.-42.在平面直角坐标系中,已知点A,B,C的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2),如果四边形ABCD为平行四边形,那么点D的坐标为()A.(3,3)B.(-5,1)C.(3,-1)D.(-3,3)3.已知非零向量a,b,若|a|=2|b|,且a(a-2b),则a与b的夹角为()A.6B.4C.3D.344.在边长为4的等边三角形ABC中,M,N分别为BC,AC的中点,则AMMN=()A.-6B.6C.0D.-325.已知O为坐标原点,向量a,b是两个不共线的向量,且OA=3
2、a+5b,OB=4a+7b,OC=a+mb,若A,B,C三点共线,则m=()A.1B.-1C.2D.-26.已知向量a=(-1,2),b=(3,4),若向量c与a共线,且c在b方向上的投影为5,则|c|=()A.1B.2C.5D.5图X5-17.如图X5-1,在RtABC中,ABC=2,AC=2AB,BAC的平分线交ABC的外接圆于点D,设AB=a,AC=b,则向量AD=()A.a+bB.12a+bC.a+12bD.a+23b8.在ABC中,已知ACBC=0,|BC|=3|AC|,点M满足CM=tCA+(1-t)CB,若ACM=60,则t=()A.12B.32C.1D.29.已知a,b,c是在
3、同一坐标平面内的单位向量,若a与b的夹角为60,则(a-b)(a-2c)的最大值是()A.12B.-2C.32D.5210.已知点O是ABC内的一点,且满足OA+2OB+mOC=0,SAOBSABC=47,则实数m的值为()A.-4B.-2C.2D.411.若平面向量a,b满足|a+b|=2,|a-b|=3,则ab=.12.图X5-2是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形,定点A,B是两个顶点,动点P在这些正六边形的边上运动,则APAB的最大值为.图X5-2能力提升13.已知P为ABC内任意一点(不包括边界),且满足(PB-PA)(PB+PA-2PC)=0,则ABC的形状一定为()A.等边三
4、角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形14.在ABC中,AB=1,A=23,则|AB+tAC|(tR)的最小值是()A.32B.22C.12D.3315.在矩形ABCD中,AB=4,BC=43,点G,H分别为直线BC,CD上的动点,AH交DG于点P.若DH=2DC,CG=12CB(01),矩形ABCD的中心M关于直线AD的对称点是N,则PMN的周长为()A.12B.16C.24D.3216.在ABC中,A=2,AB=AC=2,有下述四个说法:若G为ABC的重心,则AG=13AB+13AC;若P为BC边上的一个动点,则AP(AB+AC)为定值2;若M,N为BC边上的两个动点,且MN=2,
5、则AMAN的最小值为32;已知P为ABC内一点,若BP=1,且AP=AB+AC,则+3的最大值为2.其中所有正确说法的编号是.限时集训(五)1.D解析由ab,得x=-22=-4,故选D.2.A解析设D(x,y),点A,B,C的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2),且四边形ABCD为平行四边形,AD=BC,(x,y-1)=(3,2),解得x=3,y=3,点D的坐标为(3,3).故选A.3.B解析因为a(a-2b),所以a(a-2b)=|a|2-2ab=|a|2-2|a|b|cos=0.因为|a|=2|b|,所以cos=|a|22|a|b|=22,又0,所以=4.故选B.4.A解析由题可知
6、,|AB|=|AC|=4,ABAC=4412=8,AM=12(AB+AC),MN=-12AB,所以AMMN=12(AB+AC)-12AB=-14(AB2+ACAB)=-14(16+8)=-6.故选A.5.A解析由A,B,C三点共线,可设OC=xOA+(1-x)OB,即a+mb=(4-x)a+(7-2x)b,故4-x=1,7-2x=m,解得m=1.故选A.6.D解析向量a=(-1,2),因为向量c与a共线,所以设c=(-,2),由b=(3,4),得c在b方向上的投影为cb|b|=-3+85=5,解得=5,所以c=(-5,25),所以|c|=(-5)2+(25)2=5.故选D.7.C解析设ABC外
7、接圆的半径为r,圆心为O,在RtABC中,因为ABC=2,AC=2AB,所以O为AC的中点,BAC=3,ACB=6.因为BAC的平分线交ABC的外接圆于点D,所以ACB=BAD=CAD=6.连接BD,CD,OD,根据圆的性质得BD=CD=AB,因为AB=12AC=r=OD,所以AO=OD=BD=AB,所以四边形ABDO为菱形,所以AD=AB+AO=a+12b,故选C.8.A解析由ACBC=0,|BC|=3|AC|,可知ABC为直角三角形,ACB=90,设|AC|=a,则|BC|=3a,|AB|=2a,CAB=60.由点M满足CM=tCA+(1-t)CB,得CM=tCA+CB-tCB,即CM-C
8、B=t(CA-CB),所以BM=tBA,所以M在直线AB上.由ACM=60,得|AC|=|AM|=|CM|=|BM|=a,即M为AB的中点,所以t=12.故选A.9.D解析单位向量a与b的夹角为60,ab=|a|b|cos60=12,|a-b|2=a2-2ab+b2=1-212+1=1,则|a-b|=1.设向量c与a-b的夹角为,则(a-b)(a-2c)=a2-ab-2(a-b)c=1-12-2|a-b|c|cos=12-2cos12+2=52,当=时,等号成立.故选D.10.D解析由OA+2OB=-mOC得13OA+23OB=-m3OC,设-m3OC=OD,则13OA+23OB=OD,A,B
9、,D三点共线.O在ABC内,OC与OD反向,m0,|OD|OC|=m3,|OD|CD|=mm+3,SAOBSABC=|OD|CD|=mm+3=47,解得m=4.故选D.11.-14解析由|a+b|=2,得a2+b2+2ab=2,由|a-b|=3,得a2+b2-2ab=3,-可得4ab=-1,所以ab=-14.12.452解析由APAB=|AP|AB|cosPAB=21|AP|cosPAB,可知向量AP在AB方向上的投影|AP|cosPAB取得最大值时,APAB取得最大值,由图易知,当点P在点C处时,向量AP在AB方向上的投影|AP|cosPAB取得最大值.由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,
10、则由正六边形的边长为1可得A(-3,0),B(3,3),C32,92,则AB=(23,3),AC=332,92,所以(APAB)max=ACAB=23332+392=452.13.D解析设AB的中点为M,则PB+PA=2PM,因为(PB-PA)(PB+PA-2PC)=AB(2PM-2PC)=2ABCM=0,所以ABCM,故ABC为等腰三角形,故选D.14.A解析根据题意,设|AC|=m,则由AB=1,A=23,得ABAC=1mcos23=-m2,则|AB+tAC|2=|AB|2+2tABAC+t2|AC|2=m2t2-mt+1=mt-122+34,所以当mt=12时,|AB+tAC|2取得最小
11、值34,故|AB+tAC|(tR)的最小值是32,故选A.15.A解析分别以MN和AD所在的直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,-23),D(0,23),C(4,23),B(4,-23),M(2,0),N(-2,0).DH=2DC,CG=12CB,H(8,23),G(4,23(1-),直线AH的方程为y=438x-23=32x-23,直线DG的方程为y=-234x+23=-32x+23.联立可得点P81+2,23(1-2)1+2,(81+2)216+(23(1-2)1+2)212=64216(1+2)2+12(1-2)212(1+2)2=42+1-22+4(1+2)2=(1
12、+2)2(1+2)2=1,又04,081+21,023(1-2)1+223,点P的轨迹是以O为中心,N,M分别为左、右焦点的椭圆在第一象限的部分,其中a=4,b=23,c=2.由椭圆的定义可知,|PM|+|PN|=2a=8,PMN的周长为|PM|+|PN|+|MN|=8+4=12.故选A.16.解析因为在ABC中,A=2,AB=AC=2,所以ABC为等腰直角三角形.如图(1),取BC的中点D,连接AD,因为G为ABC的重心,所以G在AD上,且AG=23AD,所以AG=23AD=2312(AB+AC)=13AB+13AC,故正确.如图(1),因为D为BC的中点,ABC为等腰直角三角形,所以ADB
13、C,若P为BC边上的一个动点,则AP在AD上的投影为|AP|cosPAD=|AD|,所以AP(AB+AC)=2APAD=2|AD|2=212BC2=4,故错误.以A为坐标原点,分别以AB,AC所在的直线为x轴、y轴,建立如图(2)所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(0,2),易得BC所在直线的方程为x+y=2.由M,N为BC边上的两个动点,可设M(x1,2-x1),N(x2,2-x2),且x1,x20,2,不妨令x1x2,因为|MN|=2,所以(x1-x2)2+(x2-x1)2=2,即(x1-x2)2=1,则x2-x1=1,所以AMAN=x1x2+(2-x1)(2-x2)=x1(x1+1)+(2-x1)(2-x1-1)=2x12-2x1+2=2x1-122+3232,当且仅当x1=12时,等号成立,故正确.同,建立如图(3)所示的平面直角坐标系,则AB=(2,0),AC=(0,2),设P(x,y),则AP=(x,y),因为AP=AB+AC,所以x=2,y=2,即=x2,=y2,又P为ABC内一点,且|BP|=1,设PBA=,则0,4,所以x=xB-|BP|cos=2-cos,y=|BP|sin=sin,因此+3=x2+32y=1-12cos+32sin=sin-6+1.因为0,4,所以-6-6,12,所以sin-6无最大值,即+3无最大值,故错误.