1、第一章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用1.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点、两个极小极值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点解析：由导函数f(x)的图象可知，f(x)0有四个零点，根据极值的概念知，函数f(x)有两个极大值点、两个极小值点答案：C2f(x0)0是可导函数f(x)在点x0处取极值的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：f(x0)0不能保证f(x)在x0左右两边异号，故不能保证有
2、极值，但f(x)在x0处有极值则必有f(x0)0.答案：B3设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：f(x)exxex(1x)ex，令f(x)0，得x1，当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以x1为f(x)的极小值点答案：D4已知函数yxln (1x2)，则函数y的极值情况是()A有极小值B有极大值C既有极大值又有极小值D无极值解析：xR，因为y1(1x2)10恒成立，所以函数yxln (1x2)无极值答案：D5函数yax3bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则()Aa2b0
3、B2ab0C2ab0 Da2b0解析：y3ax22bx，依题意，0和是方程3ax22bx0的两根，所以，所以a2b0.答案：D二、填空题6函数f(x)x2cos x在上的极大值点为_解析：f(x)12sin x，令f(x)0得x.当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以当x时，f(x)有极大值答案：7设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点，则常数a_解析：f(x)2bx1，由题意得解得a.答案：8若函数yx2x在xx0时取极小值，则x0_答案：三、解答题9已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1，0)点，求f(x)的极大值及极小值解：f(x)3x22pxq，由
4、f(1)0，f(1)0得，解得p2，q1，所以f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10得x或x1，易得当x时，f(x)取极大值，当x1时，f(x)取极小值0.10设函数f(x)x33axb(a0)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点解：(1)由已知可得f(x)3x23a(a0)因为曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，所以即解得a4，b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)当a0时，f(x)0，函数f(x)在(，)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点当a0时，由f(x)0，得x.当x(.)时，f(x
5、)0，函数f(x)单调递增；当x(，)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增此时x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点B级能力提升1函数f(x)x3(2b1)x2b(b1)x在(0，2)内有极小值，则()A0b1 B0b2C1b1 D1b2解析：f(x)x2(2b1)xb(b1)(xb)，令f(x)0，则xb或xb1，xb1是极小值点，所以0b12，得1b1.答案：C2若函数yx36x2m的极大值为13，则实数m等于_解析：y3x212x3x(x4)由y0，得x0或x4.且x(，0)或x(4，)时，y0；x(0，4)时，y0.所以x4时取到
6、极大值故6496m13，解得m19.答案：193已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解：(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4，故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0得，xln 2或x2.从而当x(，2)或x(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)