1、专题能力训练9三角函数的图象与性质一、能力突破训练1.tan 255=()A.-2-3B.-2+3C.2-3D.2+32.若函数f(x)=sin x+3cos x(xR),又f()=-2,f()=0,且|-|的最小值为34,则正数的值是()A.13B.32C.43D.233.若f(x)=cos x-sin x在区间0,a上单调递减,则a的最大值是()A.4B.2C.34D.4.若f(x)=2sin(x+)+m,对任意实数t都有f8+t=f8-t,且f8=-3,则实数m的值等于()A.-1B.5C.-5或-1D.5或15.已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的图象关于直线x=3对称,
2、若它的最小正周期为,则函数f(x)的图象的一个对称中心是()A.3,1B.12,0C.512,0D.-12,06.若函数f(x)=2sin(x+2)cos x00,0,|0,2,的部分图象如图所示,且f(x)在区间0,2上恰有一个最大值和一个最小值,则的取值范围是.10.(2020全国,文17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos22+A+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:ABC是直角三角形.11.已知函数f(x)=2cos xsinx-3+32.(1)求曲线y=f(x)的相邻两个对称中心之间的距离;(2)若函数f(x)在区间0,m上单调递增,求m
3、的最大值.二、思维提升训练12.已知函数f(x)=sin(x+)(0,00,|,若f58=2,f118=0,且f(x)的最小正周期大于2,则()A.=23,=12B.=23,=-1112C.=13,=-1124D.=13,=72414.已知函数f(x)=sin x+3cos x,把函数f(x)的图象向右平移6个单位长度,再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x0,2时,方程g(x)-k=0恰有两个不同的实根,则实数k的取值范围为.15.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:f(x)=sin x+cos x
4、;f(x)=2(sin x+cos x);f(x)=sin x;f(x)=2sin x+2.其中为“互为生成”函数的是.(填序号)16.已知函数f(x)=12sin 2xsin +cos2xcos -12sin2+(0),其图象经过点6,12.(1)求的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,4上的最大值和最小值.专题能力训练9三角函数的图象与性质一、能力突破训练1.D解析:tan255=tan(180+75)=tan75=tan(45+30)=tan45+tan301-tan45tan30=1+331-
5、33=2+3.2.D解析:因为f(x)=2sinx+3(xR),所以函数f(x)的最大值为2,最小值为-2.由已知f()=-2,f()=0,得(,-2)为函数f(x)的图象上的一个最低点,(,0)为一个对称中心,故|-|的最小值等于周期的14,即34=T4,所以T=3,所以=23=23.3.C解析:f(x)=cosx-sinx=222cosx-22sinx=2cosx+4,(方法一)作图如图所示.易知amax=34.(方法二)当2kx+42k+,kZ时,f(x)单调递减,2k-4x2k+34,kZ.令k=0可知x-4,34,amax=34.4.C解析:依题意,得函数f(x)的图象关于直线x=8
6、对称,于是当x=8时,函数f(x)取得最值,因此有2+m=-3,解得m=-5或m=-1.故选C.5.B解析:由题意知T=,则=2.由函数f(x)的图象关于直线x=3对称,得23+=2+k(kZ),即=-6+k(kZ).|2,=-6,f(x)=Asin2x-6.令2x-6=k(kZ),则x=12+k2(kZ).函数f(x)的图象的一个对称中心为12,0.故选B.6.D解析:函数f(x)=2sin(x+2)cosx02的图象过点(0,2),2sin2=2,即sin2=1,2=2,=4,f(x)=2sin(x+2)cosx=2cos2x=cos2x+1.当x=4时,f(x)=1,故A,B都不正确;f
7、(x)的最小正周期为22=,故C不正确;显然,f(x)=cos2x+10,2,故D正确.7.19解析:sinx=-23,cos2x=1-2sin2x=1-249=19.8.2sin8x+4解析:由题意,得A=2,函数f(x)的周期为T=16.T=2,=8,此时f(x)=2sin8x+.由f(2)=2,即sin82+=sin4+=1,则4+=2k+2,kZ,解得=2k+4,kZ.|2,=4,函数f(x)的解析式为f(x)=2sin8x+4.9.1112,1712解析:f(0)=32,=23+2k(kZ).2,=23.x0,2,23x+232+23.f(x)在区间0,2上恰有一个最大值和一个最小值
8、,522+2372,11121712.10.(1)解由已知得sin2A+cosA=54,即cos2A-cosA+14=0.所以cosA-122=0,cosA=12.由于0A,故A=3.(2)证明由正弦定理及已知条件可得sinB-sinC=33sinA.由(1)知B+C=23,所以sinB-sin23-B=33sin3.即12sinB-32cosB=12,sinB-3=12.由于0B0,2m-32,解得0m512,故m的最大值为512.二、思维提升训练12.B解析:由题意,得T4=4,所以T=,所以=2=2,所以f(x)=sin(2x+).从而g(x)=sin2x-6+=sin2x+-3.由-2
9、+2k2x+-32+2k,kZ,得-12-2+kx512-2+k,kZ.要使g(x)在区间34,上单调递增,则需满足-12-2+k34,512-2+k,kZ,即-53+2k,-76+2k,kZ,解得-53+2k-76+2k,kZ.又02,118-58142,所以231.所以排除C,D.当=23时,f58=2sin5823+=2sin512+=2,所以sin512+=1.所以512+=2+2k,即=12+2k(kZ).因为|,所以=12.故选A.14.1,2)解析:函数f(x)=sinx+3cosx=2sinx+3,把函数f(x)的图象向右平移6个单位长度,得到f1(x)=2sinx+6的图象,
10、再把函数f1(x)图象上各点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标不变,得到函数g(x)=2sin2x+6的图象.因为x0,2,所以2x+66,76.令62x+62,解得0x6,即函数g(x)在区间0,6上单调递增;令22x+676,解得6x2,即函数g(x)在区间6,2上单调递减,且g(0)=2sin6=1,g6=2sin2=2,g2=2sin76=-1.要使方程g(x)-k=0恰好有两个不同的实根,即y=g(x)的图象与y=k的图象有两个不同的交点,结合图象(图略),可得实数k的取值范围是1k2,即k1,2).15.解析:首先化简题中的四个解析式可得:f(x)=2sinx+4,f(x)=2sin
11、x+4,f(x)=sinx,f(x)=2sinx+2.可知f(x)=sinx的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以f(x)=sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数;同理f(x)=2sinx+4的图象与f(x)=2sinx+4的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而f(x)=2sinx+2的图象可以向左平移4个单位,再向下平移2个单位即可得到f(x)=2sinx+4的图象,所以为“互为生成”函数.16.解(1)f(x)=12sin2xsin+cos2xcos-12sin2+(0),f(x)=12sin2xsin+1+cos2x2cos-12cos=12sin2xsin+12cos2xcos=12(sin2xsin+cos2xcos)=12cos(2x-).又函数f(x)的图象经过点6,12,12=12cos26-,即cos3-=1.0,=3.(2)由(1)知f(x)=12cos2x-3,将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,可知g(x)=f(2x)=12cos4x-3.x0,4,4x0,4x-3-3,23,即-12cos4x-31.故g(x)在区间0,4上的最大值和最小值分别为12和-14.6